Теоремы Янга и Ли

Теоремы Янга и Ли - теоремы о свойствах большой статистической суммы квантовых статистических систем. Были сформулированы и доказана Ч. Ли и Ч. Янгом в 1959 г. Рассмотрим квантовую статистическую систему. Пусть [math]\displaystyle{ G(z, V) }[/math] - большая статистическая сумма системы, [math]\displaystyle{ V }[/math] - объём системы, [math]\displaystyle{ z }[/math] - активность.

Первая теорема Янга и Ли

Предположим, что при [math]\displaystyle{ V \rightarrow \infty }[/math] площадь поверхности увеличивается не быстрее, чем [math]\displaystyle{ V^{\frac{2}{3}} }[/math]. Тогда предел [math]\displaystyle{ \lim_{V \to \infty} [ V^{-1} \ln G(z,V) ] }[/math] существует при всех [math]\displaystyle{ z \gt 0 }[/math]. Этот предел не зависит от формы объёма [math]\displaystyle{ V }[/math] и является непрерывной неубывающей функцией [math]\displaystyle{ z }[/math].

Вторая теорема Янга и Ли

Пусть [math]\displaystyle{ R }[/math] есть область в комплексной плоскости [math]\displaystyle{ z }[/math], содержащая отрезок положительной действительной оси и не содержащая корней уравнения [math]\displaystyle{ G(z, V)=0 }[/math] при любом [math]\displaystyle{ V }[/math]. Тогда для всех [math]\displaystyle{ z }[/math], лежащих в области [math]\displaystyle{ R }[/math], величина [math]\displaystyle{ V^{-1} \ln G(z,V) }[/math] равномерно сходится к пределу при [math]\displaystyle{ V \rightarrow \infty }[/math]. Этот предел является аналитической функцией [math]\displaystyle{ z }[/math] для всех [math]\displaystyle{ z }[/math], лежащих в области [math]\displaystyle{ R }[/math].

Пояснения

Большая статистической сумма в квантовой статистической механике дается выражением [math]\displaystyle{ G(z, V, T)=\sum_{N=0}^{\infty} z^{N} Q_{N} (V,T) }[/math], где [math]\displaystyle{ Q_{N}(V,T) = \sum_{n} e^{- \beta E_{n}} }[/math].

Литература

• Хуанг, К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966. — С. 506-509.