Теорема о частном

Теорема о частном — утверждение о том, что если результат умножения вектора на величину с произвольным числом верхних и нижних индексов является тензором для любого вектора, то величина с верхними и нижними индексами является тензором.

Формулировка

Пусть величина [math]\displaystyle{ P_{\lambda\mu\nu} }[/math] такова, что для любого вектора [math]\displaystyle{ A^{\nu} }[/math] величина [math]\displaystyle{ A^{\lambda}P_{\lambda\mu\nu} }[/math] является тензором. В этом случае величина [math]\displaystyle{ P_{\lambda\mu\nu} }[/math] является тензором.

Доказательство

Рассмотрим преобразование от старой криволинейной системы координат, где вектор имеет координаты [math]\displaystyle{ x^{\mu} }[/math] к новой системе координат, где этот же вектор имеет координаты [math]\displaystyle{ x^{\mu'} }[/math]. Условимся обозначать [math]\displaystyle{ \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\nu}}=x^{\mu'}_{,\nu} }[/math]. Обозначим величину [math]\displaystyle{ Q_{\mu\nu}=A^{\lambda}P_{\lambda\mu\nu} }[/math]. По условию, [math]\displaystyle{ Q_{\mu\nu} }[/math] есть тензор, поэтому [math]\displaystyle{ Q_{\beta\gamma}=Q_{\mu'\nu'}x^{\mu'}_{,\beta}x^{\nu'}_{,\gamma} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ A^{\alpha}P_{\alpha\beta\gamma}=A^{\lambda'}P_{\lambda'\mu'\gamma'}x^{\mu'}_{,\beta}x^{\nu'}_{,\gamma} }[/math]. Так как [math]\displaystyle{ A^{\lambda} }[/math] является вектором, по правилам преобразования векторов имеем: [math]\displaystyle{ A^{\lambda'}=A^{\alpha}x^{\lambda'}_{,\alpha} }[/math]. Таким образом: [math]\displaystyle{ A^{\alpha}P_{\alpha\beta\gamma}=A^{\alpha}x^{\lambda'}_{,\alpha}P_{\lambda'\mu'\nu'}x^{\mu'}_{,\beta}x^{\nu'}_{,\gamma} }[/math] Это равенство должно быть верным для всех [math]\displaystyle{ A^{\alpha} }[/math], следовательно [math]\displaystyle{ P_{\alpha\beta\gamma}=P_{\lambda'\mu'\nu'}x^{\lambda'}_{,\alpha}x^{\mu'}_{,\beta}x^{\nu'}_{,\gamma} }[/math]. Величина [math]\displaystyle{ P_{\alpha\beta\gamma} }[/math] является тензором. Доказательство нетрудно обобщить на любое число верхних и нижних индексов.

Литература

• Дирак П.А.М. Общая теория относительности. — М.: Атомиздат, 1978. — 64 с.