Теорема Пика (комплексный анализ)

Теорема Пика, или теорема Шварца — Пика — инвариантная формулировка и обобщение леммы Шварца.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ w=f(z) }[/math] — регулярная аналитическая функция из единичного круга в единичный круг

[math]\displaystyle{ Q=\left\{z\in\Complex:|z|\lt 1\right\};\;f:Q\to Q. }[/math]

Тогда для любых точек [math]\displaystyle{ z_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] круга [math]\displaystyle{ Q }[/math] расстояние в конформно-евклидовой модели плоскости Лобачевского между их образами не превосходит расстояния между ними:

[math]\displaystyle{ d(w_1,\;w_2) \leq d(z_1,\;z_2), \ \ w_1=f(z_1), \ w_2=f(z_2) }[/math].

Более того, равенство достигается только в том случае, когда [math]\displaystyle{ w=f(z) }[/math] есть дробно-линейная функция, отображающая круг [math]\displaystyle{ Q }[/math] на себя.

Замечания

Поскольку

[math]\displaystyle{ \mathop{\rm th}[\tfrac12\cdot d(z,\;w)]=\frac{\left|z-w\right|}{\left|1-\overline{z}\cdot w\right|}, }[/math]

условие

[math]\displaystyle{ d(w_1,\;w_2)\leqslant d(z_1,\;z_2) }[/math]

эквивалентно следующему неравенству:

[math]\displaystyle{ \left|\frac{f(z_1)-f(z_2)}{1-\overline{f(z_1)}f(z_2)}\right| \leqslant \frac{\left|z_1-z_2\right|}{\left|1-\overline{z_1}z_2\right|}. }[/math]

Если [math]\displaystyle{ z_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ z_2 }[/math] бесконечно близки, оно превращается в

[math]\displaystyle{ \frac{\left|f'(z)\right|}{1-\left|f(z)\right|^2}\leqslant\frac{1}{1-\left|z\right|^2}. }[/math]

Литература

• Рick G. Mathematische Annalen. — 1916. — Bd 77. — S. 1—6.
• Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — 2 изд. — М., 1966.