Теорема Ковалевской

Теорема Ковалевской о единственности и локальной разрешимости задачи Коши для системы Ковалевской играет важную роль в теории уравнений в частных производных.

Система Ковалевской

Система уравнений в частных производных с неизвестными функциями [math]\displaystyle{ u_1,u_2,...,u_N }[/math] вида

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^{n_i} u_i(x,t)}{\partial t^{n_i}} = F_i \left(t,x,u_i,...,u_N,...,\frac{\partial^a u_j}{\partial t^{a_0} \partial x^{a_1}_1...\partial x^{a_n}_n},... \right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ x=(x_1,...,x_n) }[/math], [math]\displaystyle{ a=a_0+a_1+...+a_n }[/math], [math]\displaystyle{ a \leqslant n_j }[/math], [math]\displaystyle{ a_0 \leqslant n_j-1 }[/math], [math]\displaystyle{ i,j=1,...,N }[/math], то есть число уравнений равно числу неизвестных, называется системой Ковалевской. Независимая переменная [math]\displaystyle{ t }[/math] выделяется тем, что среди производных наивысшего порядка [math]\displaystyle{ n_i }[/math] каждой функции системы содержится производная по [math]\displaystyle{ t }[/math] порядка [math]\displaystyle{ n_i }[/math] и система разрешена относительно этих производных.

Используется следующее обозначение:

[math]\displaystyle{ D^{a'}\phi^k_i(x) = \frac{\partial^{a'} \phi^k_i(x)}{\partial x^{a_1}_1...\partial x^{a_n}_n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a'=a_0+a_1+...+a_n }[/math], [math]\displaystyle{ a_i \geqslant 0 }[/math], [math]\displaystyle{ i=1,...,N }[/math].

Формулировка

Если все функции [math]\displaystyle{ \phi^k_i(x) }[/math] аналитичны в окрестности точки [math]\displaystyle{ x^0=(x_1^0,...,x_n^0) }[/math], а функции [math]\displaystyle{ F_i }[/math] определены и аналитичны в окрестности точки [math]\displaystyle{ (t^0,x_1^0,\dots,x_n^0,\phi^k_i(x^0),\dots,D^{a'}\phi^k_i(x^0),\dots) }[/math], то задача Коши имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки [math]\displaystyle{ (t^0,x_1^0,\dots,x_n^0) }[/math], единственное в классе аналитических функций.

См. также

• Теорема Коши — Ковалевской

Литература

• Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Москва: «Наука», 1981. — С. 78—79. — 512 с.