Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций
Теорема Карлемана о квазианалитических классах функций — утверждение о необходимых и достаточных условиях квазианалитичности класса функций. Была доказана Карлеманом в 1926 году[1]. Играет важную роль в функциональном анализе.
Квазианалитический класс функций
Пусть [math]\displaystyle{ A_{0}=1, A_{1}, ..., A_{n} }[/math] - последовательность положительных чисел. Обозначим [math]\displaystyle{ C_{A} }[/math] множество функций, определённых на интервале [math]\displaystyle{ \left ( -1, 1 \right ) }[/math], бесконечно дифференцируемых на нём и удовлетворяющих неравенствам [math]\displaystyle{ \max_{-1 \leqslant x \leqslant 1} \left | f^{(\nu)}(x) \right | \leqslant B^{\nu}A_{\nu} }[/math], где [math]\displaystyle{ \nu = 0, 1, 2, ... }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] - константа, зависящая от [math]\displaystyle{ f(x) }[/math].
Класс [math]\displaystyle{ C_{A} }[/math] называется квазианалитическим, если функция, ему принадлежащая, полностью определяется на интервале [math]\displaystyle{ \left ( -1, 1 \right ) }[/math] значениями своих производных [math]\displaystyle{ f^{(\nu)}(x) }[/math] в одной точке [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math]. То есть если из равенств [math]\displaystyle{ f^{(\nu)}(x_{0}) = 0 }[/math] и принадлежности [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] классу [math]\displaystyle{ C_{A} }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ f(x) \equiv 0 }[/math].
Формулировка
Необходимым и достаточным условием квазианалитичности класса [math]\displaystyle{ C_{A} }[/math] является расходимость интеграла[2]
- [math]\displaystyle{ \int_{0}^{\infty} \lg \left ( \sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{v^{2 \nu}}{A_{\nu}^{2}} \right ) \frac{dx}{1+x^{2}} }[/math]
или, что то же самое, расходимость наименьшей невозрастающей мажоранты ряда
- [math]\displaystyle{ \sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{1}{A_{\nu}^{\frac{1}{\nu}}} }[/math]