Теорема Каратеодори — Тёплица

Теорема Каратеодори — Тёплица — теорема математического анализа, названная в честь математиков Константина Каратеодори и Отто Тёплица:

Пусть [math]\displaystyle{ \Delta:=\{z\,:\,|z|\lt 1\} }[/math] — единичный круг в комплексной плоскости [math]\displaystyle{ \mathbb C. }[/math]

Множество всех функций [math]\displaystyle{ h(z) }[/math] с положительной в [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] вещественной частью и нормировкой [math]\displaystyle{ h(0)=1, }[/math] отображающих круг [math]\displaystyle{ \Delta }[/math] в правую полуплоскость называется классом Каратеодори и обозначается через [math]\displaystyle{ C. }[/math]

Каратеодори и Теплиц решили задачу точного описания множества значений системы коэффициентов [math]\displaystyle{ (\{h\}_1,\ldots,\{h\}_n), }[/math] где [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N, }[/math] на классе [math]\displaystyle{ C. }[/math]

Множество значений системы коэффициентов [math]\displaystyle{ (\{h\}_1,\ldots,\{h\}_n), }[/math] [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] на классе [math]\displaystyle{ C }[/math] есть замкнутое выпуклое ограниченное множество [math]\displaystyle{ K_n }[/math] точек [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного комплексного евклидова пространства [math]\displaystyle{ \mathbb C^n }[/math] для которых определители

[math]\displaystyle{ \det{\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k}}, \qquad 1\leqslant k\leqslant n, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ a_{ii}=2, \qquad a_{ij}=\{h\}_{j-i}, \quad j\gt i, \qquad a_{ji}=\overline{a_{ij}}, \quad j\lt i, }[/math]

либо все положительны, либо положительны до какого-то номера, начиная с которого равны нулю. Последний случай отвечает принадлежности точки [math]\displaystyle{ (\{h\}_1,\ldots,\{h\}_n) }[/math] границе [math]\displaystyle{ \partial K_n }[/math] тела коэффициентов [math]\displaystyle{ K_n. }[/math] Каждой граничной точке этого тела отвечает только одна функция класса [math]\displaystyle{ C, }[/math] имеющая вид выпуклой линейной комбинации

[math]\displaystyle{ h^{(k)}(z)=\sum_{\nu=1}^k\alpha_{\nu}\frac{1+e^{i\varphi_{\nu}}z} {1-e^{i\,\varphi_{\nu}}z} }[/math]

с коэффициентами [math]\displaystyle{ \alpha_{\nu}, }[/math] причем [math]\displaystyle{ 1\leqslant k\leqslant n }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi_{\nu}\neq\varphi_{\mu} }[/math] при [math]\displaystyle{ \mu\neq\nu, }[/math] [math]\displaystyle{ \mu,\nu=1,\ldots,n. }[/math]

См. также

• Теорема Каратеодори — Фейера.

Литература

• Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~193—217.
• Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~191—192.