Теоремы Паппа — Гульдина

Теоре́мы Па́ппа — Гу́льдина — две теоремы о телах вращения, которые связывают их площадь и объём с длиной окружности, описываемой барицентром. Сформулированы Паппом Александрийским (доказательства он не привел). Первое известное доказательство принадлежит Паулю Гульдину (1640).

Первая теорема Паппа — Гульдина (о площади поверхности вращения)

Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской линии (замкнутой или незамкнутой) вокруг оси, лежащей в плоскости этой линии и не пересекающей её, равна произведению длины вращающейся линии на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси до барицентра линии.

Вторая теорема Паппа — Гульдина (об объёме тела вращения)

Объём тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, расположенной в той же плоскости и не пересекающей фигуру, равен площади фигуры, умноженной на длину окружности, радиусом которой служит расстояние от оси вращения до барицентра фигуры.

Доказательство

Лемма

Пусть в плоскости по одну сторону от прямой расположено несколько материальных точек одинаковой массы. Тогда центр тяжести этой системы точек удалён от прямой [math]\displaystyle{ l }[/math] на расстояние, равное среднему арифметическому расстояний этих точек от прямой [math]\displaystyle{ l }[/math].

Доказательство: Докажем лемму методом математической индукции. Обозначим число точек через [math]\displaystyle{ n }[/math], сами точки через [math]\displaystyle{ M_1 }[/math], [math]\displaystyle{ M_2 }[/math], …, [math]\displaystyle{ M_n }[/math], массу каждой точки через [math]\displaystyle{ m }[/math], а расстояния точек от прямой [math]\displaystyle{ l }[/math] через [math]\displaystyle{ r_1 }[/math], [math]\displaystyle{ r_2 }[/math], …, [math]\displaystyle{ r_n }[/math].

Для [math]\displaystyle{ n=1 }[/math], утверждение леммы очевидно. Пусть лемма верна для [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] точки. Тогда их центр тяжести [math]\displaystyle{ P }[/math] находится на расстоянии

[math]\displaystyle{ r=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}}{n-1} }[/math].

Заменим систему материальных точек [math]\displaystyle{ M_1 }[/math], [math]\displaystyle{ M_2 }[/math], …, [math]\displaystyle{ M_{n-1} }[/math] точкой [math]\displaystyle{ P }[/math], сосредоточив в ней массу, равную [math]\displaystyle{ (n-1)m }[/math]. Остаётся найти центр тяжести [math]\displaystyle{ O }[/math] двух материальных точек [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ M_n }[/math]. Так как точка [math]\displaystyle{ P }[/math] имеет массу [math]\displaystyle{ (n-1)m }[/math], а точка [math]\displaystyle{ M_n }[/math] — массу [math]\displaystyle{ m }[/math], то

[math]\displaystyle{ PO:OM_n=1:(n-1) }[/math].

Следовательно, если [math]\displaystyle{ r^* }[/math] — расстояние от точки [math]\displaystyle{ O }[/math] до прямой (рис. 1), то

[math]\displaystyle{ (r-r^*):(r^*-r_n)=1:(n-1) }[/math],

откуда

[math]\displaystyle{ r^*=\frac{(n-1)r+r_n}n=\frac{r_1+r_2+...+r_{n-1}+r_n}n }[/math]

Таким образом, утверждение леммы справедливо для [math]\displaystyle{ n }[/math] материальных точек.

Доказательство первой теоремы Паппа — Гульдина

Прежде всего докажем, что эта теорема справедлива, если кривая, о которой идет речь в теореме, является [math]\displaystyle{ n }[/math]-звенной ломаной, у которой все звенья имеют одну и ту же длину [math]\displaystyle{ m }[/math]. Середины звеньев ломаной обозначим через [math]\displaystyle{ M_1 }[/math], [math]\displaystyle{ M_2 }[/math], …, [math]\displaystyle{ M_n }[/math], а расстояния от этих точек до прямой [math]\displaystyle{ l }[/math] — через [math]\displaystyle{ r_1 }[/math], [math]\displaystyle{ r_2 }[/math], …, [math]\displaystyle{ r_n }[/math]. При вращении рассматриваемой ломаной вокруг прямой [math]\displaystyle{ l }[/math] получается поверхность , состоящая из [math]\displaystyle{ n }[/math] частей, каждая из которых представляет собой боковую поверхность усеченного конуса. Так как боковая поверхность усечённого конуса равна произведению длины образующей на длину окружности среднего сечения, то площадь получившейся фигуры вращения равна

[math]\displaystyle{ S=m\cdot2\pi r_1+m\cdot2\pi r_2+\ldots+m\cdot2\pi r_n }[/math].

Замечая, что длина рассматриваемой ломаной равна [math]\displaystyle{ P=mn }[/math], можно переписать выражение для площади

[math]\displaystyle{ S=P\cdot2\pi R }[/math],

где

[math]\displaystyle{ R=\frac{r_1+r_2+...+r_n}n }[/math],

но центр тяжести ломаной, то есть центр тяжести точек [math]\displaystyle{ M_1 }[/math], [math]\displaystyle{ M_2 }[/math], …, [math]\displaystyle{ M_n }[/math], в каждой из которых сосредоточена масса [math]\displaystyle{ m }[/math], согласно лемме, отстоит от прямой [math]\displaystyle{ l }[/math] на расстоянии [math]\displaystyle{ R }[/math]. Это означает, что в рассматриваемом частном случае первая теорема Паппа — Гульдина справедлива.

Теперь рассмотрим произвольную линию [math]\displaystyle{ K }[/math], при вращении которой при вращении вокруг оси [math]\displaystyle{ l }[/math] получается поверхность [math]\displaystyle{ Q }[/math]. Впишем в неё ломаную [math]\displaystyle{ L }[/math], содержащую [math]\displaystyle{ m }[/math] звеньев. При вращении [math]\displaystyle{ L }[/math] вокруг оси [math]\displaystyle{ l }[/math] получим поверхность [math]\displaystyle{ T }[/math], площадь которой равна [math]\displaystyle{ S=P\cdot2\pi R }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — длина ломаной [math]\displaystyle{ L }[/math], а [math]\displaystyle{ R }[/math] — расстояние от центра тяжести ломаной [math]\displaystyle{ L }[/math] до оси вращения [math]\displaystyle{ l }[/math].

Если считать [math]\displaystyle{ m\to0 }[/math], то длина ломаной [math]\displaystyle{ L }[/math] будет стремиться к длине линии [math]\displaystyle{ K }[/math], площадь поверхности [math]\displaystyle{ T }[/math] будет стремиться к площади поверхности [math]\displaystyle{ Q }[/math], центр тяжести ломаной [math]\displaystyle{ L }[/math] будет стремиться к центру тяжести кривой [math]\displaystyle{ K }[/math]. Так как для любого [math]\displaystyle{ m }[/math] соотношение [math]\displaystyle{ S=P\cdot2\pi R }[/math] справедливо для [math]\displaystyle{ L }[/math], то переходя к пределу [math]\displaystyle{ m\to0 }[/math], найдем, что оно справедливо и для кривой [math]\displaystyle{ K }[/math].

Литература

• Глейзер Г. И.  История математики в школе. IX – X классы. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с.
• Фихтенгольц Г. М.  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II. 7-е изд. — М.: Наука, 1969. — 800 с.