Перейти к содержанию

Теорема Вайнберга о связи полей с частицами

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Теорема Вайнберга о связи полей с частицами — утверждение о связи между видом фурье-образов квантованных полей и операторами рождения и уничтожения частиц положительной массы. Доказана С. Вайнбергом в 1964 году [1][2][3][4]. Следствием этой теоремы являются зависимость типов полей от спина их квантов. При добавлении условия неприводимости поля по отношению к группе Пуанкаре можно получить уравнение Дирака для электрона, Вейля для нейтрино, Максвелла для фотона[5].

Формулировка

Для частиц положительной массы фурье-образы квантованных полей связаны с операторами рождения и уничтожения частиц линейными соотношениями[6]:

[math]\displaystyle{ \alpha_{\sigma}(p)=\sum_{\tau=-j}^{j}X_{\sigma \tau}(p)a_{\tau}(p), }[/math]
[math]\displaystyle{ \beta_{\sigma}^{+}(p)=\sum_{\tau=-j}^{j}Y_{\sigma \tau}(p)b_{\tau}^{+}(p). }[/math]

Пояснения

Оператор [math]\displaystyle{ a_{\sigma}(p)^{+} }[/math] является оператором рождения новой частицы с импульсом [math]\displaystyle{ p }[/math] и состоянием поляризации [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Оператор [math]\displaystyle{ a_{\sigma}(p) }[/math] является оператором уничтожения существующей частицы с импульсом [math]\displaystyle{ p }[/math] и состоянием поляризации [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Оператор [math]\displaystyle{ b_{\sigma}(p)^{+} }[/math] является оператором рождения новой античастицы с импульсом [math]\displaystyle{ p }[/math] и состоянием поляризации [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Оператор [math]\displaystyle{ b_{\sigma}(p) }[/math] является оператором уничтожения существующей античастицы с импульсом [math]\displaystyle{ p }[/math] и состоянием поляризации [math]\displaystyle{ \sigma }[/math]. Состояние поляризации [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] может принимать значения [math]\displaystyle{ \sigma = -j, -j+1, .., j-1, j }[/math], где [math]\displaystyle{ j }[/math] — спин квантов поля. Эти операторы удовлетворяют перестановочным соотношениям:

[math]\displaystyle{ [a_{\sigma}(p), a_{\tau}^{+}(p)]_{\pm}=\delta_{\sigma \tau}\delta(p-p'), }[/math]
[math]\displaystyle{ [b_{\sigma}(p), b_{\tau}^{+}(p)]_{\pm}=\delta_{\sigma \tau}\delta(p-p'). }[/math]

Выражения [math]\displaystyle{ \alpha_{\sigma}(p) }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta_{\sigma}^{+}(p) }[/math] обозначают фурье-образы квантованного поля [math]\displaystyle{ \psi_{\sigma}(x) }[/math], из формулы

[math]\displaystyle{ \psi_{\sigma}(x) = {(2 \pi)}^{-\frac{3}{2}} \int \left \{ \alpha_{\sigma}(p) e^{-i(px)} + \beta_{\sigma}^{+}e^{i(px)}\right \} \delta(p^{2}-m^{2})\theta(p^{0})dp, }[/math]

где [math]\displaystyle{ (px)=p^{0}x^{0}-p^{1}x^{1}-p^{2}x^{2}-p^{3}x^{3} }[/math], функция [math]\displaystyle{ \theta(p^{0}) }[/math] равна единице при [math]\displaystyle{ p^{0} \gt 0 }[/math] и нулю при [math]\displaystyle{ p^{0} \lt 0 }[/math][7]. Выражения [math]\displaystyle{ X_{\sigma \tau}(p) }[/math] и [math]\displaystyle{ Y_{\sigma \tau}(p) }[/math] обозначают коэффициенты, однозначно вычисляемые при помощи использования свойств преобразований квантованных полей относительно группы Лоренца[8].

Следствия

С использованием сформулированной выше теоремы Вайнберга о связи полей с частицами [9] может быть доказана, как следствие, Теорема Паули.

Примечания

  1. ↑ S. Weinberg Feynman rules for any spin, I Архивная копия от 22 апреля 2019 на Wayback Machine, Phys. Rev, 133, B1318-1332 (1964)
  2. ↑ S. Weinberg Feynman rules for any spin, II, Massless particles Архивная копия от 22 апреля 2019 на Wayback Machine, Ib, 134, B882-896 (1964)
  3. ↑ S. Weinberg Photons and gravitons in S-matrix theory: derivation of charge conservation and equality of gravitational and inertial mass Архивная копия от 9 декабря 2019 на Wayback Machine, Ib, 135, B1049-1056 (1964)
  4. ↑ S. Weinberg Photons and gravitons in perturbation theory: derivation of Maxwell’s and Einstein’s equations, Архивная копия от 24 марта 2020 на Wayback Machine Ib, 138, B988-1002 (1965)
  5. ↑ Румер, 2010, с. 5.
  6. ↑ Румер, 2010, с. 188.
  7. ↑ Румер, 2010, с. 179.
  8. ↑ Румер, 2010, с. 189.
  9. ↑ Румер, 2010, с. 198.

Литература

  • Румер Ю. Б., Фет А. И. Теория групп и квантованные поля. — М.: Либроком, 2010. — 248 с. — ISBN 978-5-397-01392-5.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Теорема_Вайнберга_о_связи_полей_с_частицами&oldid=7072663