Теорема Баргмана — Вигнера
Теорема Баргмана — Вигнера — теорема аксиоматической квантовой теории поля. Раскрывает значение понятия универсальной накрывающей группы при преобразованиях Пуанкаре в релятивистской квантовой теории. Была доказана Ю. Вигнером [1]и В. Баргманом[2].
Формулировка
Векторы состояния при преобразованиях из собственной группы Пуанкаре преобразуются по унитарному представлению её универсальной накрывающей (квантовомеханической собственной группы Пуанкаре)[3].
Иначе говоря, из каждого луча [math]\displaystyle{ T(a, \Lambda) }[/math] можно выбрать по одному представителю [math]\displaystyle{ U(a, \Lambda) \in T(a, \Lambda) }[/math]так что имеют место соотношения [4]:
[math]\displaystyle{ U(0,1)=1, U(\underline{a_{1}}, A_{1})U(\underline{a_{2}}, A_{2}) = U(\underline{a_{1}}+A_{1}^{*}a_{2}A_{1}, A_{1}A_{2}) }[/math]
где [math]\displaystyle{ a }[/math] определяется формулой [math]\displaystyle{ x = x^{\alpha}{\sigma}_{\alpha} = x^{0}\sigma_{0} +x^{1}\sigma_{1} + x^{2}\sigma_{2} + x^{3}\sigma_{3} = \begin{pmatrix} x^{0} + x^{3} & x^{1} - i x^{2} \\ x^{1} + i x^{2} & x^{0} - x^{3} \end{pmatrix} }[/math].
Пояснения
Лучом называется вектор состояния в сепарабельном гильбертовом пространстве[5]. Группа [math]\displaystyle{ G_{2} }[/math] называется универсальной накрывающей связной группы [math]\displaystyle{ G_{1} }[/math], если [math]\displaystyle{ G_{2} }[/math] - минимальная односвязная группа, гомоморфная [math]\displaystyle{ G_{1} }[/math][6]. [math]\displaystyle{ x }[/math] - четырехмерный вектор[7]. [math]\displaystyle{ \sigma_{0}, ..., \sigma_{3} }[/math] - матрицы Паули[7].
Примечания
- ↑ Wigner E.P. On unitary representations of the inhomogenous Lorentz group // Annals of Mathematics. — 1939. — Т. 40. — PP. 150—204. — URL: https://www.jstor.org/stable/1968551 Архивная копия от 23 января 2017 на Wayback Machine
- ↑ Bargmann V. On Unitary Ray Representations of Continuous Groups // Annals of Mathematics. — 1954. — Т. 59. — С. 1—46. — URL: https://www.jstor.org/stable/1969831 Архивная копия от 2 апреля 2017 на Wayback Machine
- ↑ Боголюбов, 1969, с. 106.
- ↑ Боголюбов, 1969, с. 105.
- ↑ Боголюбов, 1969, с. 85.
- ↑ Боголюбов, 1969, с. 101.
- ↑ 7,0 7,1 Боголюбов, 1969, с. 99.
Литература
- Боголюбов Н.Н.,Логунов А.А., Тодоров И.Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. — М.: Наука, 1969. — 424 с.