Стефановское течение

Стефановское течение — это явление возникновения гидродинамического течения среды в процессе испарения или роста капель.

Основной причиной возникновения этого течения является условие полного механического равновесия молекул парогазовой среды и капли.

Средний объём на одну молекулу в жидкости значительно меньше среднего объёма на одну молекулу в газе. В случае испаряющейся капли это приводило бы к тому, что концентрация паров у поверхности капли уменьшалась, что приводило бы к падению давления. Соответственно чтобы скомпенсировать этот скачок давления среда обязательно должна стягиваться к поверхности капли, образуя гидродинамическое течение среды, называемое стефановским течением.

Это явление играет большую роль в формировании климата. Его учёт очень важен в расчётах процессов переноса влаги на большие расстояния. Например известный факт, что естественный лес закачивает влажный воздух с океана, компенсируя гравитационный сток воды на больших расстояниях. Это объясняется тем что лес имеет огромную площадь поверхности за счёт листьев, на которых могут оседать капли, которые в процессе испарения могут создать течение среды, распространяющееся на значительные расстояния.

Пример: Влияние стефановского течения в задаче о квазистационарном испарении капли

Рассматривается однородная сферическая капля воды, неподвижная относительно бесконечно протяжённой изотропной среды.

Ясно, что в процессе испарения капель очевидно должна поглощаться энергия в виде тепла. В рассматриваемой задаче эти изменения не учитываются. Также в квазистационарном процессе испарения зависимость скорости изменения размеров капли от времени не учитывается в силу того, что эта скорость значительно ниже скорости гидродинамических потоков среды вокруг капли.

Однородная капля воды в парогазовой среде

Качественная зависимость распределения концентрации пара в парогазовой среде в процессе испарения капли.

Считаем, что концентрация пара у поверхности капли постоянна и равна равновесной концентрации насыщенного пара при заданной температуре над плоской границей раздела двух сред [math]\displaystyle{ n_\infty }[/math], а на удалении от капли равна [math]\displaystyle{ n_0 }[/math].

[math]\displaystyle{ n(r)=n_\infty }[/math], при [math]\displaystyle{ r=R }[/math],

[math]\displaystyle{ n(r)=n_0 }[/math], при [math]\displaystyle{ r\rightarrow\infty }[/math].

Вследствие наличия разности концентрации возникает поток водяного пара из области большей концентрации в область меньшей концентрации.

Вследствие однородности среды вектор плотности этого потока [math]\displaystyle{ \vec j\left( r\right) }[/math] прямо пропорционален градиенту концентрации [math]\displaystyle{ n\left( r\right) }[/math], однако направлен в противоположную сторону. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом диффузии [math]\displaystyle{ D=const }[/math].

[math]\displaystyle{ {\vec j} \left( r \right) = - D\frac{{dn\left( r \right)}}{{d{\vec r}}} }[/math]

Если считать, что процесс испарения капли связан только с этим потоком (решение стационарной задачи), то поток пара [math]\displaystyle{ I }[/math] через любую концентрическую с каплей сферическую поверхность с радиусом [math]\displaystyle{ r }[/math] есть величина постоянная [math]\displaystyle{ I_0 }[/math], и определяется выражением:

[math]\displaystyle{ I = - 4\pi {r^2}D\frac{{dn\left( r \right)}}{{dr}} }[/math].

Интегрирование этого выражения с учётом граничных условий приводит к формуле Максвелла.

[math]\displaystyle{ I = {I_0} = 4\pi R D\left( {{n_\infty } - {n_0}} \right) }[/math]

Приведённое решение предполагает, что существует лишь диффузионный поток пара из капли, однако, должно существовать гидродинамическое течение среды, направленное к поверхности капли. Причиной этого течения является постоянство полного давления [math]\displaystyle{ \tilde P \equiv P + P' }[/math] парогазовой среды (иначе в системе отсутствует механическое равновесие, что приводит к неоднородности среды).

Это условие приводит к тому, что наряду с градиентом парциального давления пара [math]\displaystyle{ \vec\nabla P }[/math] должен существовать равный и противоположно направленный градиент парциального давления газа [math]\displaystyle{ \vec\nabla P' }[/math], что можно записать в виде соотношения (здесь и далее все величины относящиеся к газовой компоненте среды будем обозначать штрихом):

[math]\displaystyle{ \frac{{dP}}{{d{\vec r} }} = - \frac{{dP'}}{{d{\vec r} }} }[/math].

Наличие второго градиента [math]\displaystyle{ \vec\nabla P' }[/math] приводит к появлению диффузионного потока газа к поверхности капли, однако в силу того, что суммарный поток [math]\displaystyle{ I' }[/math] газа на поверхности капли должен быть нулевым, существует обратный гидродинамический поток среды, компенсирующий его.

Сказанное выше может быть записано в виде уравнения:

[math]\displaystyle{ D\frac{{dn'\left( r\right)}}{{d{\vec r}}} = {\vec v}\left( r\right)n'\left( r\right) }[/math].

Имея в виду очевидное соотношение (давление пропорционально концентрации):

[math]\displaystyle{ \frac{{dn'\left( r\right)}}{{d{\vec r}}} = - \frac{{dn\left( r\right)}}{{d{\vec r}}} }[/math],

скорость гидродинамического течения среды [math]\displaystyle{ {\vec v}\left( r\right) }[/math] выражается в виде:

[math]\displaystyle{ {\vec v}\left( r\right) = - \frac{D}{{n'\left( r\right)}}\frac{{dn\left( r\right)}}{{d{\vec r}}} }[/math].

В отличие от решения стационарной задачи, выражение для плотности потока пара [math]\displaystyle{ \vec j\left( r\right) }[/math] теперь состоит из двух слагаемых — диффузионного и гидродинамического:

[math]\displaystyle{ \vec j\left( r \right) = - {D\frac{{dn\left( r \right)}}{{d{\vec r}}} + {\vec v}\left( r \right)n\left( r \right)} }[/math].

Соответствующее этой плотности выражение для потока пара [math]\displaystyle{ I }[/math] через поверхность капли записывается в виде:

[math]\displaystyle{ I = 4\pi R D\left( {{n_\infty } - {n_0}} \right)\left( 1 - \frac{n\left(r\right)}{n'\left(r\right)}\right) }[/math].

Поправка на гидродинамическое течение среды, как видно, определяется отношением [math]\displaystyle{ n\left( r\right)/n'\left( r\right) }[/math] — отношение концентрации паров воды [math]\displaystyle{ n\left( r\right) }[/math] к концентрации газа [math]\displaystyle{ n'\left( r\right) }[/math] в парогазовой среде. При нормальных условиях эта величина порядка 1 %.

Впервые на наличие гидродинамического течения среды вокруг испаряющейся капли указал Йозеф Стефан.

Соответствующий этому течению поток частиц парогазовой среды принято называть стефановским.