Соотношения Мэнли — Роу

Соотношения Мэнли — Роу — энергетические соотношения, характеризующие взаимодействие колебаний или волн в нелинейных системах с сосредоточенными или распределёнными параметрами. Они были впервые получены в 1956 году Дж. Мэнли и Г. Э. Роу для колебаний в нелинейной реактивной системе с сосредоточенными параметрами, а впоследствии обобщены на волны в нелинейных средах.

Соотношения Мэнли — Роу справедливы для системы с произвольной реактивной нелинейной связью. В совокупности с законами сохранения энергии и импульса, соотношения Мэнли — Роу определяют характер нелинейного взаимодействия волн (колебаний) и позволяют рассчитать максимальную эффективность преобразователя частоты на реактивной нелинейности.

Общий вид

В общем виде соотношения Мэнли — Роу могут быть записаны следующим образом:

[math]\displaystyle{ \sum_{m=1}^\infty\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{m\cdot P_{mn}}{m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2}=0,\ \ \ m\in\Z }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{m=-\infty}^\infty\sum_{n=1}^\infty\frac{n\cdot P_{mn}}{m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2}=0,\ \ \ n\in\Z }[/math]

где

[math]\displaystyle{ P_{mn} }[/math] — изменение мощности на комбинационной частоте [math]\displaystyle{ m\cdot\omega_\text{H}+n\cdot\omega_\text{C} }[/math],
[math]\displaystyle{ \omega_1,\omega_2 }[/math] — частоты исходных колебаний (волн). Причём отношение [math]\displaystyle{ \frac{\omega_2}{\omega_1} }[/math] должно быть иррационально, поскольку в противном случае, возможно выразить все частоты как гармоники одной фундаментальной частоты.

Доказательство ^[1]

Пусть в единицу времени появляется или исчезает [math]\displaystyle{ A_{mn} }[/math] квантов комбинационной частоты. Тогда мощность на комбинационной частоте выражается как:

[math]\displaystyle{ P_{mn}=A_{mn}\cdot\hbar \cdot(m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2), }[/math] (*)

Поскольку энергия в системе не появляется и не исчезает, то общая мощность равна нулю:

[math]\displaystyle{ \sum_{m,n}P_{mn}=\sum_{m,n}\hbar A_{mn}\cdot(m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2)=0 }[/math]

Поскольку [math]\displaystyle{ \frac{\omega_2}{\omega_1} }[/math] иррационально, а [math]\displaystyle{ m,n,A_{mn} }[/math] — целые числа, то это равенство выполняется только если оба слагаемых равны нулю:

[math]\displaystyle{ \sum_{m,n}m\cdot A_{mn}=\sum_{m,n}n\cdot A_{mn}=0 }[/math]

Выразив [math]\displaystyle{ A_{mn} }[/math] из (*) и подставив в последнее выражение, получим соотношения:

[math]\displaystyle{ \sum_{m,n}\frac{m\cdot P_{mn}}{m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2}=\sum_{m,n}\frac{n\cdot P_{mn}}{m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2} }[/math]

Первое из соотношений Мэнли — Роу представляет собой закон сохранения числа квантов, которые в зависимости от природы взаимодействующих волн представляют собой фотоны, фононы, плазмоны, магноны или другие взаимодействующие квазичастицы.

Можно вычислить следующие величины:

[math]\displaystyle{ A_{mn}=\frac{|P_{mn}|}{\hbar \cdot(m\cdot\omega_1+n\cdot\omega_2)} }[/math] — число квантов комбинационной частоты;
[math]\displaystyle{ m\cdot A_{m,n} }[/math] — число квантов частоты [math]\displaystyle{ \omega_1 }[/math], затраченных ([math]\displaystyle{ P_{mn}\gt 0 }[/math]) или образованных ([math]\displaystyle{ P_{mn}\lt 0 }[/math]) при возбуждении комбинационной частоты;
[math]\displaystyle{ n\cdot A_{m,n} }[/math] — число квантов частоты [math]\displaystyle{ \omega_2 }[/math], затраченных ([math]\displaystyle{ P_{mn}\gt 0 }[/math]) или образованных ([math]\displaystyle{ P_{mn}\lt 0 }[/math]) при возбуждении комбинационной частоты.

Соотношения для трёхчастотного взаимодействия

Рассмотрим соотношения Мэнли — Роу в частном случае трёхчастотного взаимодействия. Пусть, например, комбинационной является разностная частота [math]\displaystyle{ \omega_0=\omega_1-\omega_2 }[/math]. Тогда система имеет три частоты:

[math]\displaystyle{ \omega_0\ (m=1,n=-1) }[/math]
[math]\displaystyle{ \omega_1\ (m=1,n=0) }[/math]
[math]\displaystyle{ \omega_2\ (m=0,n=1) }[/math]

В этом случае соотношения Мэнли — Роу принимают вид:

[math]\displaystyle{ \frac{P_{0,1}}{\omega_2}=\frac{P_{1,-1}}{\omega_0}=-\frac{P_{1,0}}{\omega_1} }[/math]

Обобщение для комбинации многих частот

Пусть источники или стоки квантов происходят на частотах

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^N m_i \omega_i,\ \ \frac{\omega_i}{\omega_j}\notin\Q }[/math]

В этом случае будем иметь систему из [math]\displaystyle{ N }[/math] соотношений:

[math]\displaystyle{ \sum_{m_1,m_2,\ldots,m_N}\frac{m_i\cdot P_{m_1m_2\ldots m_N}}{m_1\cdot\omega_1+m_2\cdot\omega_2+\ldots+m_N\cdot\omega_N}=0,\ \ \ i=\overline{1,N} }[/math]