Соотношение Фабер — Джексона
Соотношение Фабер — Джексона — эмпирическое степенное соотношение, связывающее светимость [math]\displaystyle{ L }[/math] и центральную дисперсию скоростей [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] эллиптических галактик, впервые полученное астрономами Сандрой Фабер и Робертом Джексоном в 1976 году. Данное соотношение можно представить в виде
- [math]\displaystyle{ L \propto \sigma^ \gamma }[/math],
где показатель степени [math]\displaystyle{ \gamma }[/math] приблизительно равен 4, но зависит от диапазона светимостей, в который вписано соотношение. Данную зависимость можно рассматривать как проекцию фундаментальной плоскости эллиптических галактик.
Соотношение Фабер — Джексона можно применять для приблизительного определения расстояния до галактик.
Теория
Гравитационный потенциал массы [math]\displaystyle{ M }[/math], распределённой в объёме радиуса [math]\displaystyle{ R }[/math], имеет вид
- [math]\displaystyle{ U=-\alpha \frac{GM^2}{R}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] — постоянная, зависящая от профиля плотности объекта, [math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная. В случае постоянной плотности [math]\displaystyle{ \alpha\ = \frac{3}{5} }[/math].
Кинетическая энергия ([math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — одномерная дисперсия скоростей, [math]\displaystyle{ 3\sigma^2=V^2 }[/math]):
- [math]\displaystyle{ K = \frac{1}{2}MV^2, }[/math]
- [math]\displaystyle{ K = \frac{3}{2}M \sigma^2. }[/math]
Из теоремы вириала ([math]\displaystyle{ 2 K + U = 0 }[/math]) следует
- [math]\displaystyle{ \sigma^2 =\frac{1}{5}\frac{GM}{R}. }[/math]
Если предположить, что отношение масса-светимость является постоянным, то есть [math]\displaystyle{ M \propto L }[/math], то соотношение, связывающее [math]\displaystyle{ R }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma^2 }[/math], будет иметь вид
- [math]\displaystyle{ R \propto\frac{LG}{\sigma^2}. }[/math]
Введём понятие поверхностной яркости [math]\displaystyle{ B = L/(4 \pi R^2) }[/math] и предположим, что она постоянна:
- [math]\displaystyle{ L=4\pi R^2 B. }[/math]
Пользуясь данным предположением, получим
- [math]\displaystyle{ L \propto 4\pi\left(\frac{LG}{\sigma^2}\right)^2B, }[/math]
- [math]\displaystyle{ L \propto\frac{\sigma^4}{4\pi G^2 B}, }[/math]
что означает [math]\displaystyle{ L \propto \sigma^4. }[/math]
В реальности предположение постоянной поверхностной яркости не выполняется. Поверхностная яркость имеет максимальное значение при [math]\displaystyle{ M_V=-23 }[/math]. Для менее массивных галактик [math]\displaystyle{ L \propto \sigma^{3.1} }[/math], для более массивных галактик [math]\displaystyle{ L \propto \sigma^{15.0}. }[/math] Таким образом, фундаментальная плоскость разделяется на две части, наклоненные относительно друг друга примерно на 11 градусов.
Определение расстояния до галактик
Как и зависимость Талли — Фишера в случае спиральных галактик, соотношение Фабер — Джексона предоставляет возможность определять расстояние до галактики, связывая его с более простыми для измерения характеристиками. Для эллиптических галактик измерение центральной дисперсии скоростей по доплеровскому сдвигу спектральных линий позволяет на основе соотношения Фабер — Джексона получить оценку светимости галактики. Сопоставление светимости и видимой звёздной величины позволяет найти модуль расстояния до галактики и, следовательно, само расстояние.