Случайное множество

Случайное множество — измеримое отображение [math]\displaystyle{ K }[/math] семейства элементарных исходов произвольного вероятностного пространства [math]\displaystyle{ (\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P}) }[/math] в некоторое пространство [math]\displaystyle{ \mathcal{M} }[/math], элементами которого являются множества.

Существуют различные уточнения понятия. Случайное множество в зависимости от структуры множества значений. Так, если [math]\displaystyle{ \mathcal{M} }[/math] — топологическое пространство, то измеримость понимается в борелевском смысле. Наиболее распространёнными являются случаи:

• [math]\displaystyle{ \mathcal{M}=\mathcal{F} }[/math] — топологическое пространство замкнутых множеств (некоторого топологического пространства [math]\displaystyle{ S }[/math], называемого базовым), тогда случайное множество есть случайное замкнутое множество;
• [math]\displaystyle{ \mathcal{M}=\mathcal{O} }[/math] — топологическое пространство открытых множеств, тогда С.м. есть случайное открытое множество;
• [math]\displaystyle{ \mathcal{M}=\mathcal{H} }[/math] — топологическое пространство пар (внутренность множества, замыкание множества); здесь приходят к так называемым случайным физически различным множествам
• [math]\displaystyle{ \mathcal{M}=\mathcal{K} }[/math] — топологическое пространство компактных множеств, при этом получают случайное компактное множество;
• [math]\displaystyle{ \mathcal{M}={\rm conv}(\mathcal{K}) }[/math] — подпространство выпуклых элементов [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math], при этом получают случайное выпуклое множество.

Для задания распределения случайного замкнутого множества используется сопровождающий функционал, в терминах которого удобно описывать многие свойства случайного множества. Теория случайных открытых, компактных и физически различимых множеств с помощью стандартных переформулировок получается из теории случайных замкнутых множеств.

Для решения некоторых задач достаточно использовать значения сопровождающего функционала на конечных множествах — так называемый точечный закон распределения случайного множества, который в общем случае не определяет однозначно распределение случайного множества. Существует, однако, класс сепарабельных случайных множеств, для которых точечный закон полностью задаёт распределение: это случайное множество [math]\displaystyle{ K }[/math] со свойством [math]\displaystyle{ K = \overline{K \cap D} }[/math], где [math]\displaystyle{ D }[/math] счётно и всюду плотно в [math]\displaystyle{ S }[/math].

Важными частными классами случайного множества являются случайные безгранично делимые множества, случайные гауссовские множества, случайные изотропные множества, случайные полумарковские множества, случайные стационарные множества, случайные устойчивые множества.

Существуют и другие способы определения случайного множества, не требующие задания предварительной (базовой) топологии; важнейшие из них: способ Кендалла, основанный на понятии «ловушки»; метод сведения к случайным функциям (например, опорным функциям в случае выпуклости множеств); способ, использующий метрику Колмогорова-Хемминга (меру симметрической разности множеств).

Наиболее развитыми разделами теории С.м. являются предельные теоремы для случайных множеств, а также различные определения и методы вычисления числовых характеристик и сет-характеристик распределений С.м. (Средние множества, Сет-среднее, Сет-медиана, Сет-ожидание и т. п.).

Литература

• Choquet G. (1953-54) «Ann.Inst.Fourier», t.5, р. 131—295;
• Ляшенко Н. Н. (1999) Случайное множество. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: БРЭ.