Символическая динамика

Символическая динамика — объединяющее название класса динамических систем, для которых точками фазового пространства являются последовательности в некотором конечном алфавите «символов», а отображение заключается в сдвиге последовательности на один символ влево.

Простейшими примерами являются сдвиг Бернулли и сдвиг Маркова. Символическая динамика также возникает при рассмотрении отображения судьбы.

Базовые примеры

Сдвиг Бернулли

Схема левого сдвига Бернулли [math]\displaystyle{ \omega'=\sigma(\omega) }[/math] над пространством [math]\displaystyle{ \Sigma_2 }[/math] двусторонне-бесконечных последовательностей из нулей и единиц

Пусть [math]\displaystyle{ \Sigma_s^{+} }[/math] — пространство последовательностей в алфавите [math]\displaystyle{ \{1,\dots,s\} }[/math], то есть,

[math]\displaystyle{ \Sigma_s^{+}=\{(\omega_j)_{j=1}^{\infty} \mid \forall j \quad w_j\in \{1,\dots,s \} \}. }[/math]

Сдвигом Бернулли называется динамическая система [math]\displaystyle{ (\Sigma_s^{+},\sigma) }[/math], где [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — отображение левого сдвига,

[math]\displaystyle{ (\sigma(\omega))_j=\omega_{j+1}. \qquad (*) }[/math]

Также рассматривают отображение левого сдвига на пространстве двусторонне-бесконечных последовательностей

[math]\displaystyle{ \Sigma_s=\{(\omega_j)_{j=-\infty}^{\infty} \mid \forall j \quad w_j\in \{1,\dots,s \} \}; }[/math]

получающуюся динамическую систему [math]\displaystyle{ (\Sigma_s,\sigma) }[/math] также называют сдвигом Бернулли. При необходимости, для уточнения, какая из систем имеется в виду, называют первую систему односторонним сдвигом Бернулли, а вторую двусторонним.

Отображение судьбы

В случае, если фазовое пространство динамической системы разбито в объединение непересекающихся множеств,

[math]\displaystyle{ X=\bigsqcup_{i=1}^N B_i, }[/math]

любой точке [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] может быть поставлена в соответствие её судьба — последовательность номеров множеств, которые посещает её орбита:

[math]\displaystyle{ x\mapsto (i_k), \quad f^k(x)\in B_{i_k}. \qquad (*) }[/math]

При этом для необратимых динамических систем последовательность [math]\displaystyle{ (i_k) }[/math] односторонняя, т.е. [math]\displaystyle{ k=0,1,2,\dots }[/math], а для обратимых систем обычно рассматривают двусторонне-бесконечные последовательности, [math]\displaystyle{ k\in\Z }[/math].

Отображение [math]\displaystyle{ h: X \to \Sigma_N }[/math] или [math]\displaystyle{ h: X \to \Sigma_N^+ }[/math], заданное формулой (*), называется отображением судьбы (соответствующим данному разбиению фазового пространства). Такое отображение автоматически удовлетворяет соотношению

[math]\displaystyle{ h\circ f = \sigma \circ h. }[/math]

Хотя отображение судьбы априори не является ни сюръективным, ни инъективным, ни непрерывным, оно часто применяется при построении сопряжений либо полусопряжений различных отображений. В случае, когда отображение судьбы инъективно, говорят о символическом кодировании динамики — поскольку применение отображения такая «замена координат» превращает в динамику на символическом пространстве [math]\displaystyle{ \Sigma_N }[/math] или на его части.

Литература

• П. Биллингслей, Эргодическая теория и информация.
• В. И. Арнольд, Д. В. Аносов, Ю. С. Ильяшенко, и др., Динамические системы-1, ВИНИТИ.
• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.