Решето Сундарама

Решето Сундара́ма — детерминированный алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа [math]\displaystyle{ n }[/math]. Разработан индийским студентом Сундарамом в 1934 году.

Пошаговая демонстрация работы алгоритма для [math]\displaystyle{ N=100 }[/math]

Алгоритм предусматривает исключение из ряда натуральных чисел от 1 до [math]\displaystyle{ N }[/math] всех чисел вида:

[math]\displaystyle{ i+j+2ij }[/math],

где индексы [math]\displaystyle{ i\leqslant j }[/math] пробегают все натуральные значения, для которых [math]\displaystyle{ i+j+2ij \leqslant N }[/math], а именно значения [math]\displaystyle{ i=1,\;2,\;\ldots,\;\left\lfloor \frac{\sqrt{2N+1}-1}2\right\rfloor }[/math] и [math]\displaystyle{ j=i,\;i+1,\;\ldots,\;\left\lfloor \frac{N-i}{2i+1}\right\rfloor. }[/math] Затем каждое из оставшихся чисел умножается на 2 и увеличивается на 1. Полученная в результате последовательность представляет собой все простые числа в отрезке [math]\displaystyle{ [1,2N+1] }[/math].

Обоснование

Алгоритм работает с нечётными натуральными числами большими единицы, представленными в виде [math]\displaystyle{ 2m+1 }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] является натуральным числом.

Если число [math]\displaystyle{ 2m+1 }[/math] является составным, то по определению оно может быть представлено в виде произведения двух нечётных чисел, больших единицы, то есть:

[math]\displaystyle{ 2m+1=(2i+1)(2j+1) }[/math], где [math]\displaystyle{ i }[/math] и [math]\displaystyle{ j }[/math] — натуральные числа. Раскрывая скобки, получаем, что

[math]\displaystyle{ 2m+1=4ij+2i+2j+1 }[/math], или

[math]\displaystyle{ 2m=4ij+2i+2j }[/math], из чего следует, что

[math]\displaystyle{ m=2ij+i+j }[/math].

Таким образом, если из ряда натуральных чисел исключить все числа вида [math]\displaystyle{ 2ij + i + j }[/math] ([math]\displaystyle{ 1 \leqslant i \leqslant j }[/math]), то для каждого из оставшихся чисел [math]\displaystyle{ m }[/math] число [math]\displaystyle{ 2m+1 }[/math] обязано быть простым. И, наоборот, если число [math]\displaystyle{ 2m+1 }[/math] является простым, то число [math]\displaystyle{ m }[/math] невозможно представить в виде [math]\displaystyle{ 2ij+i+j }[/math] и, таким образом, [math]\displaystyle{ m }[/math] не будет исключено в процессе работы алгоритма.

#include <stdio.h>

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    bool a[n + 1];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        a[i] = true;
    }

    for(int i = 1; 2 * i * (i + 1) < n; i++) {
    	int j_max = (n - 1) / (2 * i + 1);
    	
        for(int j = i; j <= j_max; j++) {
            a[2 * i * j + i + j] = false;
        }
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(a[i]) {
            printf("%d ", 2 * i + 1);
        }
    }
    return 0;
}

Пример реализации на python3.8

n = int(input())

sc = set(range(1, n + 1))

for i in range(1, int((((2 * n + 1)**0.5) - 1) / 2) + 1):
    for j in range(i, (n - 1) // (2 * i + 1) + 1):
        sc.remove(i + j + 2 * i * j)

sc = sorted(i * 2 + 1 for i in sc)

print(sc)

См. также

Ссылки

Б. А. Кордемский. Математическая смекалка. — М.: ГИФМЛ, 1958.
Baxter, Andrew. «Sundaram’s Sieve». Topics from the History of Cryptography. MU Department of Mathematics.