Формула Резерфорда

Фо́рмула Резерфóрда — формула для дифференциального эффективного поперечного сечения рассеяния нерелятивистских заряженных частиц в телесный угол Ω в кулоновском поле другой неподвижной заряженной частицы или ядра (мишени). Подтверждена эмпирически Э. Резерфордом в 1911 году в опытах по рассеянию α-частиц на тонкой золотой фольге субмикронной толщины. В системе центра инерции налетающей и рассеивающей частиц дифференциальное сечение рассеяния записывается следующим образом:

[math]\displaystyle{ \frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{Z_1 Z_2 e^2}{2mv^2}\right)^2 \frac{1}{\sin^{4}{\frac{\Theta}{2}}} }[/math]

где [math]\displaystyle{ Z_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ Z_2 }[/math] — заряды налетающей частицы и мишени, [math]\displaystyle{ m, v }[/math] — масса и скорость налетающей частицы, [math]\displaystyle{ \Theta }[/math] — двумерный угол рассеяния, [math]\displaystyle{ e }[/math] — элементарный заряд, [math]\displaystyle{ d\sigma }[/math] — дифференциал полного сечения, [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — дифференциал телесного угла.

Рассеяние Резерфорда

В физике рассеянием Резерфорда называется феномен, описанный Эрнестом Резерфордом в 1909 году, и приведший к развитию планетарной модели Бора-Резерфорда. Рассеяние Резерфорда также называют кулоновским рассеянием, потому что оно базируется исключительно на силах электростатического взаимодействия, и минимальное расстояние между частицами зависит только от потенциала поля. Классическое рассеяние Резерфорда представляет собой рассеяние α-частиц на ядрах атомов золота (бомбардировка золотой пластинки α-частицами), что является примером так называемого «упругого рассеяния», так как энергия и скорость рассеянной частицы такая же, как и у налетающей.

Также Резерфорд анализировал неупругое рассеяние α-частиц на протонах (ядрах атома водорода), этот процесс не является классическим рассеянием Резерфорда, хотя наблюдался им ранее, чем классический. При приближении α-частицы к протону возникают некулоновские силы, которые вместе с энергией налетающей частицы на лёгкую мишень меняют результаты эксперимента. Эти эффекты позволяют строить предположения о внутренней структуре мишени. Похожий процесс был применён в 1960-х для исследования внутренней структуры ядра под названием глубоко неупругое рассеяние.

Первоначальное открытие было сделано Хансом Гейгером и Эрнестом Марсденом в 1909 году — эксперимент Гейгера — Марсдена — под руководством Резерфорда, в котором они бомбардировали α-частицами мишень, состоящую из нескольких сверхтонких (толщиной менее одного микрона) слоёв золотой фольги. Во время эксперимента предполагалось, что атом является аналогией пудинга с изюмом (согласно томсоновской модели атома), где отрицательные заряды (изюм) распределены по положительно заряженному шару (пудинг). Если томсоновская модель атома верна, то положительно заряженный пудинг будет более протяжённым, чем ядро атома в модели Бора — Резерфорда, и не сможет создавать большие силы кулоновского отталкивания, вследствие чего α-частицы будут отклоняться на малые углы от своего первоначального вектора скорости.

Однако эксперимент показал, что 1 из 8000 частиц отражается на углы более 90°, когда основная масса частиц проходит через фольгу с небольшим отклонением или вообще без него. Исходя из этого Резерфорд заключил, что основная масса и заряд вещества заключена в крошечном положительно заряженном пространстве (ядре) окруженном электронами. Когда положительная α-частица пролетает очень близко от ядра, то испытывает на себе силы кулоновского отталкивания и отражается на большие углы. Маленький размер ядра атома объясняется малым количеством α-частиц отражённых подобным образом. Используя описанный метод, Резерфорд показал, что размер ядер меньше чем [math]\displaystyle{ 10^{-14} }[/math]м (насколько «меньше» Резерфорд не мог уточнить опираясь только на этот эксперимент).

Дифференциальное сечение

Отталкивающее рассеяние на точечной заряженной частице.

Установленная Резерфордом в 1911 году формула дифференциального сечения:

[math]\displaystyle{ \frac{d \sigma}{d \Omega} = \left(\frac{\alpha \hbar c}{2mv_0^2} \right)^2 \frac{1}{\sin^4 (\theta / 2)}. }[/math]

Все частицы проходящие через кольцо слева попадают в кольцо справа.

Подробнее о вычислении максимального размера ядра

При столкновении α-частицы с ядром, вся кинетическая энергия [math]\displaystyle{ \left(\frac{mv^2}{2}\right) }[/math] α-частицы превращается в потенциальную энергию, вследствие чего частица останавливается. В этот момент расстояние от α-частицы до центра ядра (b) является максимально возможным радиусом самого ядра. Это очевидно из эксперимента: если радиус сферического ядра превысит b, то частица не сможет провзаимодействовать с ним как с точечным зарядом посредством лишь кулоновских сил.

Приравнивая кинетическую энергию частицы к потенциалу электрического поля:

Подробное описание

По закону сохранения энергии:

[math]\displaystyle{ E = K + P, }[/math]

где:

E — полная энергия частицы;

K — кинетическая энергия частицы [math]\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} }[/math];

P — потенциальная энергия частицы в кулоновском электрическом поле [math]\displaystyle{ \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{r}, }[/math] где r — расстояние от частицы до центра ядра.

Предполагая, что частица летит из бесконечности:

[math]\displaystyle{ E = \frac{mv^2}{2}. }[/math]

В момент максимального приближения к ядру (когда скорость стала нулевой):

[math]\displaystyle{ E = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{b}. }[/math]

Следовательно, приравнивая оба уравнения по полной энергии:

[math]\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{b}. }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{mv^2}{2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{q_1 q_2}{b} \Rightarrow b = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \cdot \frac{2 q_1 q_2}{mv^2} }[/math].

В эксперименте Гейгера — Марсдена:

• m (масса α-частицы) = 6,7⋅10⁻²⁷ кг
• q₁ (заряд α-частицы) = 2×(1,6⋅10⁻¹⁹) Кл
• q₂ (заряд ядра золота) = 79×(1,6⋅10⁻¹⁹) Кл
• v (начальная скорость α-частицы) = 2⋅10⁷ м/с

Подставляя эти значения в полученное уравнение для максимального радиуса ядра, получаем ≈ 27 фм (1 фемтометр = 10⁻¹⁵ метра). При этом радиус, измеренный современными методами, составляет ≈ 7,3 фм. Более точно радиус ядра атома золота в этом эксперименте было получить невозможно, так как энергии α-частицы в нём хватало - только чтобы приблизиться к ядру на 27 фм, тогда как для столкновения требовалось подойти на 7,3 фм.

Другие применения

На данный момент принцип рассеяния широко используется в спектроскопах обратного рассеяния чтобы определять тяжёлые элементы в решётках более лёгких атомов, например, чтобы найти вкрапления тяжёлых металлов в полупроводники. Известно, что данная технология была впервые использована на Луне для анализа почвы аппаратом «Surveyor 4», а позже аналогичные анализы проводили аппараты «Surveyor 5-7».

Ссылки

• E. Rutherford, The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom, Philosophical Magazine. Series 6, vol. 21. May 1911
• Geiger H. & Marsden E. (1909). «On a Diffuse Reflection of the α-Particles». Proceedings of the Royal Society, Series A 82: 495—500. doi:10.1098/rspa.1909.0054. [1].
• Учебно-методические материалы ГрГУ им. Я. Купалы