Пучок матриц

Пучок матриц — функция [math]\displaystyle{ L(\lambda) }[/math] от комплексного аргумента, возвращающая для заданного набора ненулевых матриц [math]\displaystyle{ A_0, A_1,\dots,A_l }[/math] комбинацию:

[math]\displaystyle{ L(\lambda) = \sum_{i=0}^l \lambda^i A_i }[/math].

([math]\displaystyle{ l }[/math] называется степенью пучка).

Частным случаем является линейный пучок матриц [math]\displaystyle{ A-\lambda B \, }[/math] с [math]\displaystyle{ \lambda \in \mathbb C }[/math] (или [math]\displaystyle{ \lambda \in \mathbb R }[/math]), где матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] являются комплексными (или вещественными) [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]-матрицами. Такой пучок кратко обозначается [math]\displaystyle{ (A,B) }[/math].

Пучок называется регулярным, если имеется по меньшей мере одно значение [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], для которого [math]\displaystyle{ \det(A-\lambda B)\neq 0 }[/math]. Собственные значения пучка матриц [math]\displaystyle{ (A,B) }[/math] называются все комплексные числа [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], для которых [math]\displaystyle{ \det(A-\lambda B)=0 }[/math] (по аналогии с собственными значениями матриц). Множество собственных значений называется спектром пучка и записывается как [math]\displaystyle{ \sigma(A,B) }[/math]. Также считается, что пучок имеет (одно или более) собственное значение на бесконечности, если [math]\displaystyle{ B }[/math] имеет (одно или более) нулевых собственных значений.

Если две матрицы коммутируют ([math]\displaystyle{ AB = BA }[/math]), то образованный ими пучок удовлетворяет одному из следующих условий:

• состоит только из матриц, подобных диагональной,
• не имеет матриц, подобных диагональной,
• имеет в точности одну матрицу, подобную диагональной.

Пучки матриц играют важную роль в численных методах линейной алгебры. Задача нахождения собственных пучков называется обобщённой задачей нахождения собственных значений. Наиболее распространённым методом решения этой задачи является QZ-алгоритм, который является неявной версией QR-алгоритма для решения связанной задачи собственных значений [math]\displaystyle{ B^{-1}Ax=\lambda x }[/math] без явного формирования матрицы [math]\displaystyle{ B^{-1}A }[/math] (что может быть невозможно или плохо обусловлено, если [math]\displaystyle{ B }[/math] вырождена или почти вырождена).

Литература

• Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. Матричные вычисления. — Москва: «Мир», 1999. — ISBN 5-03-002406-9.
• Marvin Marcus, Henryk Minc. A survey of matrix theory and matrix inequalities. — New York: Dover Publications, 1969. — ISBN 0-486-67102-X.