Пример Адамара
Пример Адамара иллюстрирует возможность некорректной постановки классической задачи Коши.
Рассмотрим следующую задачу Коши для уравнения Лапласа:
- [math]\displaystyle{ u_{tt} (x,t)=-u_{xx} (x,t),~t\gt 0 }[/math];
- [math]\displaystyle{ u\mid_{t=0}=0,~~u_t\mid_{t=0}=\frac{1}{k}\sin{kx} }[/math].
Тогда несложно показать, что решением такого уравнения будет функция:
- [math]\displaystyle{ u_k(x,t)=\frac{\operatorname{sh}\,kt}{k^2}\sin{kx} }[/math].
При [math]\displaystyle{ k\rightarrow+\infty }[/math] видно, что [math]\displaystyle{ \frac{1}{k}\sin{kx}\rightrightarrows 0 }[/math] по [math]\displaystyle{ x }[/math]; следовательно, решение должно также приближаться к нулю. Однако же, в общем случае, когда [math]\displaystyle{ x\neq \pi n,n=0,\pm1,\dots,u_k(x,t)\not\to 0,~k\rightarrow\infty }[/math]. То есть, непрерывной зависимости от начальных данных нет и, следовательно, задача поставлена некорректно.
См. также
Литература
- Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — Любое издание.
- Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X.