Приведённая масса

Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения.

Обычно приведенная масса [math]\displaystyle{ \mu }[/math] определяется из равенства [math]\displaystyle{ T = \mu v^2 \,/2 }[/math], где [math]\displaystyle{ T }[/math] — кинетическая энергия системы, а [math]\displaystyle{ v }[/math] — скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции [math]\displaystyle{ \mu_{ij} }[/math] в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется [math]\displaystyle{ n }[/math] обобщёнными координатами [math]\displaystyle{ r_i }[/math]:

[math]\displaystyle{ 2T = \sum^n_{i, \, j = 1} \mu_{ij}\, \dot{r_i} \dot{r_j} \, , }[/math]

где точка означает дифференцирование по времени, а [math]\displaystyle{ \mu_{ij} \ }[/math] есть функции обобщённых координат.

Задача двух тел

В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой [math]\displaystyle{ m_{1} \ }[/math] и другое с массой [math]\displaystyle{ m_{2} \ }[/math]. В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной

[math]\displaystyle{ \mu = {1 \over {{1 \over m_1} + {1 \over m_2}}} = {{m_1 m_2} \over {m_1 + m_2}}\ , }[/math]

где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.

Приведённая масса всегда меньше каждой из масс [math]\displaystyle{ m_1 \ }[/math] или [math]\displaystyle{ m_2 \ }[/math] или равна нулю, если одна из масс равна нулю. Пусть масса [math]\displaystyle{ m_2 \ }[/math] значительно меньше массы [math]\displaystyle{ m_1 }[/math] ([math]\displaystyle{ m_2 \ll m_1 }[/math]), тогда приближённое выражение для приведенной массы будет

[math]\displaystyle{ \mu =\frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 (1- \frac{m_2}{m_1})\approx m_\mathrm 2\ . }[/math]

Механика Ньютона

Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{12} = m_1 \mathbf{a}_1. }[/math]

Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{21} = m_2 \mathbf{a}_2. }[/math]

В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}_{12} = - \mathbf{F}_{21}. }[/math]

Таким образом, имеем

[math]\displaystyle{ m_1 \mathbf{a}_1 = - m_2 \mathbf{a}_2 }[/math]

или

[math]\displaystyle{ \mathbf{a}_2=-{m_1 \over m_2} \mathbf{a}_1. }[/math]

Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением

[math]\displaystyle{ \mathbf{a} = \mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2 = \left({1+{m_1 \over m_2}}\right) \mathbf{a}_1 = {{m_2+m_1}\over{m_1 m_2}} m_1 \mathbf{a}_1 = {\mathbf{F}_{12} \over \mu}. }[/math]

Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе [math]\displaystyle{ \mu }[/math].

Механика Лагранжа

Задачу двух тел также можно описывать в лагранжевом подходе. Функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий. В данной задаче это

[math]\displaystyle{ L = {1 \over 2} m_1 \mathbf{\dot{r}}_1^2 + {1 \over 2} m_2 \mathbf{\dot{r}}_2^2 - V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | ) }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{r}_i }[/math] — радиус-вектор i-ой частицы с массой [math]\displaystyle{ m_i }[/math]. Потенциальная энергия зависит от расстояния между частицами. Определим вектор

[math]\displaystyle{ \mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 }[/math],

и пусть центр масс задаёт систему отсчёта

[math]\displaystyle{ m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 = 0 }[/math].

Тогда вектора положений масс [math]\displaystyle{ m_i }[/math] переопределяются как

[math]\displaystyle{ \mathbf{r}_1 = \frac{m_2 \mathbf{r}}{m_1 + m_2} ,\,\, \mathbf{r}_2 = \frac{-m_1 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}. }[/math]

Тогда новую функцию Лагранжа можно переписать в виде

[math]\displaystyle{ L = {1 \over 2}\mu \mathbf{\dot{r}}^2 - V(r), }[/math]

откуда видно, что задача двух тел редуцировалась в задачу движения одного тела.

Применение

Приведенная масса может иметь отношение к более общим алгебраическим выражениям, которые задают взаимосвязь элементов системы и имеют вид

[math]\displaystyle{ \ {1\over x_\text{eq}} = \sum_{i=1}^n {1\over x_i} = {1\over x_1} + {1\over x_2} + \cdots+ {1\over x_n}\ , }[/math]

где [math]\displaystyle{ x_i \ }[/math] — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи), [math]\displaystyle{ x_{eq} \ }[/math] — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики.

Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку.

Ссылки

• Приведённая масса на HyperPhysics Архивная копия от 16 декабря 2006 на Wayback Machine

См. также

• Задача двух тел