Почти плоское многообразие
Почти плоское многообразие — гладкое компактное многообразие М такое, что для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] на М существует риманова метрика [math]\displaystyle{ g_\varepsilon }[/math], такая, что [math]\displaystyle{ \mbox{diam}(M,g_\varepsilon)\leqslant 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ g_\varepsilon }[/math] является [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-плоской, то есть её секционные кривизны [math]\displaystyle{ K_{g_\varepsilon} }[/math] в каждой точке удовлетворяют неравенству
- [math]\displaystyle{ |K_{g_\epsilon}| \lt \varepsilon. }[/math]
Примеры
- Любое компактное многообразие, допускающее плоскую метрику, является почти плоским. В частности, почти плоскими многообразиями являются
- [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерный тор
- Бутылка Клейна
- Примером не плоского, но почти плоского многообразия является пространство нетривиального расслоения со слоем окружность над тором. Это пространство можно получить как фактор группы Гейзенберга по её целочисленной подгруппе и его конечные накрытия.
Свойства
- Для любого n существует положительное число [math]\displaystyle{ \varepsilon_n\gt 0 }[/math] такое, что если n-мерное многообразие допускает [math]\displaystyle{ \varepsilon_n }[/math]-плоские метрики с диаметром [math]\displaystyle{ \leqslant 1 }[/math], то онo почти плоскоe.
- Почти плоское многообразие как многообразие, коллапсирующее к точке с зажатой кривизной: М — почти плоское, если для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] на М существует риманова метрика [math]\displaystyle{ g_\varepsilon }[/math], такая, что диаметр многообразия меньше [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], и [math]\displaystyle{ g_\varepsilon }[/math] имеет ограниченную секционную кривизну, скажем, в каждой точке удовлетворяют неравенству [math]\displaystyle{ |K_{g_\epsilon}| \lt 1 }[/math].
- По теореме Громова — Руха, многообразие М является почти плоским тогда и только тогда, когда оно является инфранильмногообразием. В частности, оно является конечным фактором нильмногообразия. Последнее можно определить индуктивно как пространство главного расслоения со слоем окружность над нильмногообразием.
Литература
- Gromov, M. (1978), Almost flat manifolds, Journal of Differential Geometry Т. 13 (2): 231–241, <http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214434488>.
- Ruh, Ernst A. (1982), Almost flat manifolds, Journal of Differential Geometry Т. 17 (1): 1–14, <http://projecteuclid.org/getRecord?id=euclid.jdg/1214436698>.