Попарная независимость
В теории вероятностей, попарно независимый или попарно несовместимый набор случайных величин — это множество случайных величин, любая пара которых независима[1].
Любой набор независимых в совокупности случайных величин является попарно независимым, но не все попарно независимые наборы являются независимыми в совокупности. Попарно независимые случайные величины с конечной дисперсией не являются коррелированными.
На практике, если это не выводится из контекста, считается, что независимость означает независимость в совокупности. Таким образом, предложение вида «[math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ Y }[/math], [math]\displaystyle{ Z }[/math] являются независимыми случайными величинами» означает, что [math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ Y }[/math], [math]\displaystyle{ Z }[/math] являются независимыми в совокупности.
Пример
Независимость в совокупности не следует из попарной независимости, как показано в следующем примере, приписываемом С. Н. Бернштейну[2]
Пусть случайные величины [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] обозначают два независимых подбрасывания монетки. Положим 1 обозначает выпадение орла, 0 — решки. Пусть [math]\displaystyle{ Z }[/math] — случайная величина, равная 1, если в результате ровно одного из двух подбрасываний монетки выпал орёл, и 0 в противном случае. Тогда тройка [math]\displaystyle{ (X,\;Y,\;Z) }[/math] имеет следующее вероятностное распределение:
[math]\displaystyle{ (X,Y,Z)= \begin{cases} (0,\;0,\;0) \mbox{ с вероятностью } 1/4, \\ (0,\;1,\;1) \mbox{ с вероятностью } 1/4, \\ (1,\;0,\;1) \mbox{ с вероятностью } 1/4, \\ (1,\;1,\;0) \mbox{ с вероятностью } 1/4. \end{cases} }[/math]
Заметим, что распределения каждой случайной величины по отдельности равны: [math]\displaystyle{ f_X(0)=f_Y(0)=f_Z(0)=1/2 }[/math] и [math]\displaystyle{ f_X(1)=f_Y(1)=f_Z(1)=1/2 }[/math]. Распределения любых пар этих величин также равны: [math]\displaystyle{ f_{X,\;Y}=f_{X,\;Z}=f_{Y,\;Z} }[/math], где [math]\displaystyle{ f_{X,\;Y}(0,\;0)=f_{X,\;Y}(0,\;1)=f_{X,\;Y}(1,\;0)=f_{X,\;Y}(1,\;1)=1/4. }[/math]
Поскольку каждое из попарных совместных распределений равно произведению соответствующих им маргинальных распределений, случайные величины являются попарно независимыми:
- [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] независимы,
- [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Z }[/math] независимы,
- [math]\displaystyle{ Y }[/math] и [math]\displaystyle{ Z }[/math] независимы.
Несмотря на это, [math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ Y }[/math] и [math]\displaystyle{ Z }[/math] не являются независимыми в совокупности, поскольку [math]\displaystyle{ f_{X,\;Y,\;Z}(x,\;y,\;z)\neq f_X(x)f_Y(y)f_Z(z) }[/math]. Для [math]\displaystyle{ (X,\;Y,\;Z)=(0,\;0,\;0) }[/math] левая часть равна 1/4, а правая — 1/8. При этом любая из трёх случайных величин [math]\displaystyle{ X }[/math], [math]\displaystyle{ Y }[/math] и [math]\displaystyle{ Z }[/math] однозначно определяется двумя другими и равняется их сумме, взятой по модулю 2.
Обобщение
В общем случае для любого [math]\displaystyle{ n\geqslant 2 }[/math] можно говорить о [math]\displaystyle{ n }[/math]-арной независимости. Идея схожа: набор случайных величин является [math]\displaystyle{ n }[/math]-арно независимым, если любое его подмножество мощности [math]\displaystyle{ n }[/math] является независимым в совокупности. [math]\displaystyle{ n }[/math]-арная независимость использовалась в теоретической информатике для доказательства теоремы о задаче MAXEkSAT.
См. также
Ссылки
- ↑ Gut, A. Probability: a Graduate Course (неопр.). — Springer-Verlag, 2005. — ISBN 0-387-27332-8. стр. 71—72.
- ↑ Hogg R. V., McKean J. W., Craig A. T. Introduction to Mathematical Statistics (неопр.). — 6. — Upper Saddle River, NJ: Pearson Prentice Hall, 2005. — ISBN 0-13-008507-3. Remark 2.6.1, p. 120.