Показатель Ляпунова
Показатель Ляпунова динамической системы — величина, характеризующая скорость удаления друг от друга траекторий. Положительность показателя Ляпунова обычно свидетельствует о хаотическом поведении системы.
Назван в честь Александра Михайловича Ляпунова.
Определение
Поток динамической системы определяется как однопараметрическое семейство отображений;
- [math]\displaystyle{ F^t(x_0)=x_t, }[/math]
где [math]\displaystyle{ t\mapsto x_t }[/math] обозначает траекторию в динамической системе. Показатель Ляпунова можно определить следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \lambda(x)=\lim_{t\to\infty} \tfrac1t\cdot \ln \|d_xF^t\| }[/math]
Основные свойства
- Для систем сохраняющих объём, показатель Ляпунова не отрицателен.
- В случае если система имеет отрицательный показатель Ляпунова, то все траектории сходятся к фиксированной точке.