Перейти к содержанию

Поверхность Понтрягина

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Поверхность Болтянского»)

Пове́рхности Понтря́гина — определённая последовательность двумерных (в смысле размерности Лебега) «размерно неполноценных» континуумов [math]\displaystyle{ \Pi_m }[/math]. То есть таких, что их гомологическая размерность по данному модулю [math]\displaystyle{ m=2, 3, .. }[/math] равна [math]\displaystyle{ 1 }[/math].

Свойства

  • Поверхности Понтрягина вкладываются в четырёхмерное евклидово пространство
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}\,\Pi_m\times\Pi_k=3 \lt \operatorname{dim}\,\Pi_m+\operatorname{dim}\,\Pi_k=4 }[/math] при [math]\displaystyle{ m\not=k }[/math]

История

Понтрягин построил такие поверхности [math]\displaystyle{ \Pi_2 }[/math], [math]\displaystyle{ \Pi_3 }[/math], что их топологическое произведение [math]\displaystyle{ \Pi=\Pi_2\times \Pi_3 }[/math] есть континуум размерности [math]\displaystyle{ 3 }[/math]. Этим была опровергнута гипотеза, что при топологическом перемножении двух (метрических) компактов их размерности складываются. Им же эта гипотеза доказана для гомологической размерности по простому модулю и вообще по всякой группе коэффициентов, являющейся полем. Позже Болтянским был построен двумерный континуум [math]\displaystyle{ B }[/math] (поверхность Болтянского), топологический квадрат которого [math]\displaystyle{ B^2 = B\times B }[/math] трёхмерен.

Вариации и обобщения

  • поверхность Болтянского — двумерный континуум [math]\displaystyle{ B }[/math] топологический квадрат которого [math]\displaystyle{ B^2 = B\times B }[/math] трёхмерен.

Литература