Поверхность Понтрягина
Пове́рхности Понтря́гина — определённая последовательность двумерных (в смысле размерности Лебега) «размерно неполноценных» континуумов [math]\displaystyle{ \Pi_m }[/math]. То есть таких, что их гомологическая размерность по данному модулю [math]\displaystyle{ m=2, 3, .. }[/math] равна [math]\displaystyle{ 1 }[/math].
Свойства
- Поверхности Понтрягина вкладываются в четырёхмерное евклидово пространство
- [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}\,\Pi_m\times\Pi_k=3 \lt \operatorname{dim}\,\Pi_m+\operatorname{dim}\,\Pi_k=4 }[/math] при [math]\displaystyle{ m\not=k }[/math]
История
Понтрягин построил такие поверхности [math]\displaystyle{ \Pi_2 }[/math], [math]\displaystyle{ \Pi_3 }[/math], что их топологическое произведение [math]\displaystyle{ \Pi=\Pi_2\times \Pi_3 }[/math] есть континуум размерности [math]\displaystyle{ 3 }[/math]. Этим была опровергнута гипотеза, что при топологическом перемножении двух (метрических) компактов их размерности складываются. Им же эта гипотеза доказана для гомологической размерности по простому модулю и вообще по всякой группе коэффициентов, являющейся полем. Позже Болтянским был построен двумерный континуум [math]\displaystyle{ B }[/math] (поверхность Болтянского), топологический квадрат которого [math]\displaystyle{ B^2 = B\times B }[/math] трёхмерен.
Вариации и обобщения
- поверхность Болтянского — двумерный континуум [math]\displaystyle{ B }[/math] топологический квадрат которого [math]\displaystyle{ B^2 = B\times B }[/math] трёхмерен.
Литература
- П. С. Александров Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.
- В. Болтянский. О теореме сложения размерностей // УМН. — 1951. — Т. 6, № 3(43). — С. 99—128.
- L. Роntгjagin. Sur une hypothese fondamentale de la theorie de la dimension // Gomptes Rendus. — 1930. — Т. 190. — С. 1105—1107.