Период повторяемости

Период повторяемости, интервал повторения — оценка интервала времени между такими событиями, как землетрясение, наводнение или изменение расхода воды, сходной интенсивности или силы. Это статистическая величина, обозначающая средний интервал повторения в течение длительного периода времени. Как правило, её вычисление требуется для анализа риска (в том числе для оценки проектов в зонах с определенным риском), а также измерения сейсмостойкости сооружений в случае повторения землетрясений (с соответствующей интенсивностью).

Уравнение

Интервал повторения = [math]\displaystyle{ {{n}\over m} }[/math], где

n — количество лет наблюдений;

m — ранг, интенсивность рассматриваемого события. Для наводнений он обычно измеряется в м³/с, для штормовых приливов — с точки зрения высоты подъёма воды, и т.д. для других событий.

Период повторяемости как ожидаемая частота

Теоретически период повторяемости есть обратная вероятность того, что событие наступит в течение года. Например, 10-летнее наводнение имеет [math]\displaystyle{ 1/10=0.1 }[/math] или 10% вероятность наступления в течение года, а 50-летнее наводнение имеет 0,02 или 2% вероятности наступления в течение года.

Таким образом, несмотря на то, что 10-летнее событие произойдет, в среднем, раз в 10 лет, а интенсивность 100-летнего события настолько велика, что оно ожидается только через каждые 100 лет, это всего лишь статистическая величина: ожидаемое количество 100-летних событий за период n лет равно n/100, в смысле математического ожидания. Это не значит, что 100-летние наводнения случаются регулярно, каждые 100 лет. Несмотря на «период повторяемости», в любой 100-летний период, 100-летний шторм может произойти один раз, два раза, или не случится совсем, и вероятность каждого события можно вычислить, как показано ниже.

Расчётный период повторяемости отличается от статистического показателя: он рассчитывается на основе выборки наблюдений, и отличается от теоретического значения при нормальном распределении. То есть он означает не то, что событие определённой интенсивности или больше происходит с 1% вероятности, а только то, что событие наблюдалось только один раз за 100 лет. Это различие важно в случае наблюдений редких событий: например, если аналогичное событие наблюдалось 400 лет назад, то при дальнейших наблюдениях оно может быть классифицировано как 200-летнее событие (если сопоставимое событие происходит чаще) или 500-летнее событие (если не происходит сопоставимого события в течение 100 лет).

Кроме того, невозможно определить интенсивность и период повторяемости 1000-летних событий на основе наблюдений, ввиду наличия единичных записей о них, поэтому вместо этого следует использовать статистическую модель для прогнозирования величины таких (ненаблюдаемых) событий.

Распределение вероятностей

В рассматриваемый период n лет, вероятность наступления данного числа событий k на данном интервале времени T подчиняется закону биномиального распределения. В периоде длительного времени (при увеличении n), сходится к распределению Пуассона.

[math]\displaystyle{ 1/T = {m\over{n}} }[/math], где

T период повторяемости

m ранг, интенсивность

n количество наблюдений

Если вероятность наступления события обозначить через р, то вероятность не наступления события равна [math]\displaystyle{ q=(1-p) }[/math].

Биномиальное распределение может быть использовано, чтобы найти вероятность наступления события r раз за период в n лет.

[math]\displaystyle{ =\binom{n}{r} \times p^r \times (1-p)^{n-r} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} = \frac{n!}{(n-r)! \, r!} }[/math] — биномиальный коэффициент.

Пример

При периоде повторяемости события в 50 лет,

[math]\displaystyle{ P={1\over 50}=0.02 }[/math].

Таким образом, вероятность того, что такое событие происходит только один раз в 10 лет, равна

[math]\displaystyle{ P=\binom{10}{1} \times 0.02^1 \times 0.98^9 }[/math]

[math]\displaystyle{ \approx 10 \times 0.02 \times 0.834 }[/math]

[math]\displaystyle{ \approx 0.167 }[/math]

Анализ рисков

Период повторяемости также полезен для анализа рисков (таких, как природные, неотъемлемые, или гидрологические риски). При расчёте прочности сооружений период повторяемости используется по отношению к проектному сроку жизни сооружения. Это вероятность того, что наступит по крайней мере одно событие, интенсивность которого превысит проектные нормы в течение ожидаемого срока эксплуатации конструкции. Эта вероятность является дополнением к вероятности того, что никакое событие не превысит проектных норм.

Уравнение для оценки этого риска может быть выражено как

[math]\displaystyle{ \overline {R}=1-(1-{1\over T})^n=1-(1-P(X\ge{x_T}))^n }[/math]

где

[math]\displaystyle{ {1\over T}=P(X\ge{x_T}) }[/math] — выражение вероятности появления события;

n — ожидаемое время эксплуатации сооружения.

См. также

• Кумулятивный частотный анализ

Ссылки

• CumFreq, компьютерная программа для расчёта кумулятивных частот, периодов повторяемости и доверительных интервалов