Переход Фредерикса

Переход Фредерикса, или эффект Фредерикса, — переход из конфигурации с однородным директором (единичным вектором, задающим ориентацию оптической оси жидкого кристалла) в конфигурацию с деформированным директором при приложении достаточно сильного магнитного или электрического поля. Этот переход не является фазовым переходом, так как в любой точке в жидком кристалле степень упорядоченности молекул относительно друг друга остается неизменной. Ниже определенного порогового значения поля директор остается недеформированным. Когда значение поля постепенно возрастает от порогового значения, директор начинает закручиваться вокруг направления поля до тех пор, пока не выстроится с ним в одном направлении. Таким образом, переход Фредерикса может происходить в трех разных конфигурациях, известных как геометрия кручения, геометрия продольного изгиба, геометрия поперечного изгиба. Первыми этот переход наблюдали В. К. Фредерикс и Репьева в 1927 году. Название предложил нобелевский лауреат по физике Пьер-Жиль де Жен.

Использование

Пример использования эффекта Фредерикса в жидкокристаллических дисплеях. LC — жк-молекулы, I — изображение, G — стеклянная пластина; E — электрод, Р — поляризатор

Переход Фредерикса широко используется в жидкокристаллических дисплеях портативных устройств с батарейным питанием, таких как калькуляторы и наручные часы. Каждый пиксель такого дисплея содержит ячейку с жидким кристаллом, ориентированным определенным образом благодаря поверхностным силам (левый рисунок). Приложение напряжения к такой ячейке меняет ориентацию молекул в промежутке между поверхностями (правый рисунок). В результате меняется оптическая активность ячейки, а, следовательно, её способность пропускать поляризованный свет, создавая возможность для отображения желаемой информации.

Вывод соотношений

Геометрия кручения

Если нематический жидкий кристалл, ограниченный двумя параллельными пластинами, которые ориентируют директор параллельно пластинам, помещается в достаточно сильное постоянное электрическое поле, то директор будет искажаться. Если при нулевом поле директор направлен вдоль оси x, то при приложении электрического поля вдоль оси y, он будет описываться формулами:

[math]\displaystyle{ \mathbf{\hat{n}}=n_x\mathbf{\hat{x}}+n_y\mathbf{\hat{y}} }[/math]

[math]\displaystyle{ n_x=\cos{\theta(z)} }[/math]

[math]\displaystyle{ n_y=\sin{\theta(z)} }[/math].

При этих условиях плотность свободной энергии Франка записывается в виде:

[math]\displaystyle{ \mathcal{F}_{d}=\frac{1}{2}K_2\left(\frac{d\theta}{dz}\right)^2 }[/math]

Полная энергия искажения и электрического поля на единицу объема:

[math]\displaystyle{ U=\frac{1}{2}K_2\left(\frac{d\theta}{dz}\right)^2-\frac{1}{2}\epsilon_0\Delta\chi_eE^2\sin^2{\theta} }[/math]

Тогда свободная энергия на единицу площади:

[math]\displaystyle{ F_A=\int_0^d\frac{1}{2}K_2\left(\frac{d\theta}{dz}\right)^2-\frac{1}{2}\epsilon_0\Delta\chi_eE^2\sin^2{\theta}\,dz }[/math]

Минимизируя её, получаем:

[math]\displaystyle{ \left(\frac{\partial U}{\partial \theta}\right)-\frac{d}{dz}\left(\frac{\partial U}{\partial\left(\frac{d\theta}{dz}\right)}\right)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ K_2\left(\frac{d^2\theta}{dz^2}\right)+\epsilon_0\Delta\chi_eE^2\sin{\theta}\cos{\theta}=0 }[/math]

Переписывая через [math]\displaystyle{ \zeta=\frac{z}{d} }[/math] и [math]\displaystyle{ \xi_d=d^{-1}\sqrt{\frac{K_2}{\epsilon_0\Delta\chi_eE^2}} }[/math] где [math]\displaystyle{ d }[/math] расстояние между двумя пластинами, получаем:

[math]\displaystyle{ \xi_d^2\left(\frac{d^2\theta}{d\zeta^2}\right)+\sin{\theta}\cos{\theta}=0 }[/math]

Умножая обе стороны дифференциального уравнения на [math]\displaystyle{ \frac{d\theta}{d\zeta} }[/math], упрощаем это уравнение:

[math]\displaystyle{ \frac{d\theta}{d\zeta}\xi_d^2\left(\frac{d^2\theta}{d\zeta^2}\right)+\frac{d\theta}{d\zeta}\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{2}\xi_d^2\frac{d}{d\zeta}\left(\left(\frac{d\theta}{d\zeta}\right)^2\right)+\frac{1}{2}\frac{d}{d\zeta}\left ( \sin^2{\theta}\right)=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\frac{1}{2}\xi_d^2\frac{d}{d\zeta}\left(\left(\frac{d\theta}{d\zeta}\right)^2\right)+\frac{1}{2}\frac{d}{d\zeta}\left ( \sin^2{\theta}\right)\,d\zeta \,=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d\theta}{d\zeta}=\frac{1}{\xi_d}\sqrt{\sin^2{\theta_m}-\sin^2{\theta}} }[/math]

Величина [math]\displaystyle{ \theta_m }[/math] — значение [math]\displaystyle{ \theta }[/math] при [math]\displaystyle{ \zeta=1/2 }[/math]. Вводим [math]\displaystyle{ k=\sin{\theta_m} }[/math] и [math]\displaystyle{ t=\frac{\sin{\theta}}{\sin{\theta_m}} }[/math] и интегрируем по [math]\displaystyle{ t }[/math] от 0 до 1:

[math]\displaystyle{ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}\,dt \,\equiv K(k)=\frac{1}{2\xi_d} }[/math]

Величина K(k) есть полный эллиптический интеграл первого рода. Учитывая, что [math]\displaystyle{ K(0)=\frac{\pi}{2} }[/math] получаем пороговое значение поля [math]\displaystyle{ E_t }[/math].

[math]\displaystyle{ E_t=\frac{\pi}{d}\sqrt{\frac{K_2}{\epsilon_0\Delta\chi_e}} }[/math]

Литература

• Пикин С. А., Блинов Л. М. Эффект Фредерикса // Жидкие кристаллы / Под ред. Л. Г. Асламазова. — М.: Наука, 1982. — С. 51—84. — 208 с. — (Библиотечка «Квант». Вып. 20). — 150 000 экз.
• Collings, Peter J., Hird, Michael. Introduction to Liquid Crystals: Chemistry and Physics. — Taylor & Francis Ltd., 1997. — ISBN 0-7484-0643-3.
• de Gennes, Pierre-Gilles, Prost, J. The Physics of Liquid Crystals. — 2nd. — Oxford University Press. — ISBN 0-19-851785-8.
• Fréedericksz, V., Repiewa, A. Theoretisches und Experimentelles zur Frage nach der Natur der anisotropen Flüssigkeiten (англ.) // Zeitschrift für Physik Society. — 1927. — Vol. 42, no. 7. — P. 532–546. — doi:10.1007/BF01397711.
• Fréedericksz, V., Zolina, V. Forces causing the orientation of an anisotropic liquid (англ.) // Trans. Faraday Soc.. — 1933. — Vol. 29. — P. 919–930. — doi:10.1039/TF9332900919.
• Priestley, E. B., Wojtowicz, Peter J., Sheng, Ping. Introduction to Liquid Crystals. — Plenum Press, 1975. — ISBN 0-306-30858-4.
• Zöcher, H. The effect of a magnetic field on the nematic state (англ.) // Transactions of the Faraday Society. — 1933. — Vol. 29. — P. 945–957. — doi:10.1039/TF9332900945.