Парадокс Бурали-Форти
Парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория множеств, в которой построение такого множества возможно.
Формулировка
В математической литературе встречаются различные формулировки, опирающиеся на разную терминологию и предполагаемый набор известных теорем. Вот одна из возможных формулировок.
Можно доказать, что если [math]\displaystyle{ x }[/math] — произвольное множество порядковых чисел, то множество-сумма [math]\displaystyle{ \textstyle\bigcup x }[/math] есть порядковое число, большее или равное каждому из элементов [math]\displaystyle{ x }[/math]. Предположим теперь, что [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — множество всех порядковых чисел. Тогда [math]\displaystyle{ \textstyle\bigcup \Omega }[/math] — порядковое число, большее или равное любому из чисел в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]. Но тогда и [math]\displaystyle{ \textstyle\bigcup \Omega \cup \{\bigcup \Omega\} = \bigcup \Omega + 1 }[/math] — порядковое число, причём уже строго большее, а значит, и не равное любому из чисел в [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]. Но это противоречит условию, по которому [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] — множество всех порядковых чисел.
История
Парадокс был обнаружен Чезаре Бурали-Форти в 1897 году и оказался одним из первых парадоксов, показавших, что наивная теория множеств противоречива, а следовательно, непригодна для нужд математики. Несуществование множества всех порядковых чисел противоречит концепции наивной теории множеств, разрешающей построение множеств с произвольным свойством элементов, то есть термов вида «множество всех [math]\displaystyle{ x }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ P }[/math]» ([math]\displaystyle{ \{x \mid P\} }[/math]).
Современная аксиоматическая теория множеств накладывает строгие ограничения на вид условия [math]\displaystyle{ P }[/math], с помощью которого можно образовывать множества. В аксиоматических системах типа Гёделя — Бернайса позволяется образование терма [math]\displaystyle{ \{x \mid P\} }[/math] для произвольных [math]\displaystyle{ P }[/math], но с оговоркой, что он может оказаться не множеством, а классом.