Осциллятор Дуффинга

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Отображение Пуанкаре для вынужденных колебаний осциллятора Дуффинга, демонстрирующее хаотическое поведение

Осциллятор Дуффинга (англ. Duffing oscillator) — простейшая одномерная нелинейная система. Представляет собой одномерную частицу, движущуюся в потенциале [math]\displaystyle{ U(x)=ax^2/2+bx^4/4 }[/math]. При [math]\displaystyle{ b=0 }[/math] система сводится к обычному гармоническому осциллятору. Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность получения хаотической динамики.

Уравнение движения для осциллятора Дуффинга имеет вид

[math]\displaystyle{ m\ddot{x} = -ax -bx^3 }[/math],

где [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ m }[/math], соответственно — координата частицы и её масса. Уравнение впервые было изучено немецким инженером Георгом Дуффингом в 1918 году. Дискретная его версия известна как отображение Дуффинга[англ.].

Решение осциллятора Дуффинга выражается через эллиптические функции: [math]\displaystyle{ x(t) = a_{1}cn(u,k), u=a_{2}t+b }[/math].[1]

Зависимость амплитуды от частоты

В отсутствие диссипации (трения), гармонический (линейный) осциллятор, находящийся под действием внешней периодической силы [math]\displaystyle{ F = F_0 \cos (\omega t) }[/math], испытывает резонанс, если частота этой силы [math]\displaystyle{ \omega }[/math] совпадает с собственной частотой осциллятора [math]\displaystyle{ \omega_0 = \omega }[/math]. Вблизи резонанса осциллятор совершает колебания конечной амплитуды. Последняя пропорциональна [math]\displaystyle{ (\omega_0 - \omega)^{-2} }[/math] и расходится точно в резонансе.

В отличие от гармонического осциллятора, осциллятор Дуффинга под действием внешней периодической силы испытывает бистабильное поведение.

Примечания

  1. Rand, R.H. Lecture notes on nonlinear vibrations // Cornell Universit. — 2012. — С. 13–17. Архивировано 23 сентября 2021 года.

Литература

  • Ivana Kovacic, Michael J Brennan. The Duffing Equation : Nonlinear Oscillators and their Behaviour. — John Wiley & Sons, 2011. — ISBN 9780470715499.
  • M. Lakshmanan, K Murali. Chaos In Nonlinear Oscillators: Controlling And Synchronization. — World Scientific, 1996. — Vol. 13. — P. 35—90. — 340 p. — (World Scientific Series on Nonlinear Science Series A). — ISBN 978-981-02-2143-0.

Ссылки