Ортогональные траектории
Ортогональные траектории — линии, пересекающие заданное семейство кривых под прямым углом. Если [math]\displaystyle{ y_1' }[/math] — угловой коэффициент касательной к ортогональной траектории, а [math]\displaystyle{ y_2' }[/math] — угловой коэффициент касательной к кривой данного семейства, то [math]\displaystyle{ y_1' }[/math] и [math]\displaystyle{ y_2' }[/math] должны в каждой точке удовлетворять условию ортогональности:
- [math]\displaystyle{ y_1' = -{1\over y_2'} }[/math]
Пусть у нас есть семейство кривых [math]\displaystyle{ g(x, y) = C }[/math], где [math]\displaystyle{ C }[/math] — константа. Тогда ортогональные траектории могут быть найдены путём решения системы дифференциальных уравнений:
- [math]\displaystyle{ \nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = 0 }[/math]
Используя определение градиента, можно записать:
- [math]\displaystyle{ \nabla f(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) }[/math]
Таким образом:
- [math]\displaystyle{ \nabla f(x, y) \cdot \nabla g(x, y) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right) \cdot \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial g}{\partial y} = 0 }[/math]
Примеры
Пусть у нас есть семейство прямых линий, проходящих через начало координат, заданных уравнением [math]\displaystyle{ y = kx }[/math]. Дифференцируя данное уравнение по переменной [math]\displaystyle{ x }[/math], получаем:
- [math]\displaystyle{ y' = k = \mathrm{const} }[/math]
Исключим параметр [math]\displaystyle{ k }[/math] из системы:
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} y = kx \\ y' = k \end{cases} \Rightarrow y' = \frac{y}{x} }[/math]
Заменим [math]\displaystyle{ y' }[/math] на [math]\displaystyle{ \left( -\frac{1}{y'} \right) }[/math]:
- [math]\displaystyle{ -\frac{1}{y'} = \frac{y}{x} \Rightarrow y' = -\frac{x}{y} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} }[/math]
Мы получили типичное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, получаем:
- [math]\displaystyle{ ydy = -xdx \Rightarrow \int{ydy} = -\int{xdx} \Rightarrow \frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} = C }[/math]
Данное уравнение есть не что иное, как уравнение окружности радиуса [math]\displaystyle{ \sqrt{2C} }[/math]. Действительно:
- [math]\displaystyle{ R^2 = 2C \Rightarrow x^2 + y^2 = R^2 }[/math]
Литература
Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. (стр. 23, Пример 8)