Оптико-механическая аналогия

Оптико-механическая аналогия — аналогия между описаниями движения материальных частиц в стационарном потенциальном поле в классической механике и распространения движения световых лучей в изотропной оптически неоднородной среде. Была установлена Гамильтоном в 1834 г. В 1926 г. была использована при создании квантовой механики де Бройлем и Шредингером для описания наличия у материальных объектов одновременно корпускулярных и волновых свойств.

Формулировка

Рассмотрим свободную частицу, движущуюся в стационарном потенциальном поле [math]\displaystyle{ U(r) }[/math]. Её функцию действия можно представить в виде [math]\displaystyle{ S(\vec{r}, t) = -Et + S_{0}(\vec{r}) }[/math], где "укороченное" действие [math]\displaystyle{ S_{0}(\vec{r}) }[/math] удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби [math]\displaystyle{ (\nabla S_{0})^2 = 2m \left [ E - U(\vec{r}) \right ] }[/math].

Это уравнение совпадает по форме с известным в геометрической оптике уравнением эйконала: [math]\displaystyle{ (\nabla L)^2 = n^{2}(\vec{r}) }[/math], где [math]\displaystyle{ L }[/math] - так называемый эйконал, [math]\displaystyle{ n(\vec{r}) }[/math] - показатель преломления оптически неоднородной среды, в которой распространяется электромагнитная волна.

Траектория классической частицы совпадает с кривой, описываемой при перемещении поверхности равного действия, одной из её точек. Аналогично этому, световой луч представляет собой кривую, которую описывает при своем перемещении в пространстве какая-нибудь точка поверхности постоянной фазы электромагнитной волны.

Рассмотрим геометрическое место точек пространства, в которых действие классической частицы имеет некоторое постоянное значение [math]\displaystyle{ S(r, t) = -Et + S_{0}(r) = const }[/math]. Дифференцируя это равенство по времени, получаем: [math]\displaystyle{ -E + \nabla S_{0}\frac{dr}{dl}\frac{dl}{dt} = 0 }[/math] откуда, учитывая что [math]\displaystyle{ \frac{dr}{dl} = \frac{\nabla S_{0}}{\left | \nabla S_{0} \right |} }[/math] и [math]\displaystyle{ \nabla S_{0} = p }[/math], следует [math]\displaystyle{ u = \frac{E}{\left | \nabla S_{0} \right |} = \frac{E}{p} = \frac{E}{mv} }[/math].

Аналогично этому, в оптике поверхности равной фазы описываются уравнением [math]\displaystyle{ k_{0}L(\vec{r}) - \omega t = const }[/math]. Дифференцируя его по времени, получаем скорость распространения фронта электромагнитной волны: [math]\displaystyle{ \frac{dl}{dt} = \frac{\omega}{k_{0} \left | \nabla L \right |} = \frac{\omega}{k} }[/math].

Сопоставляя формулы, описывающие распространение классических частиц и распространение световых лучей, нетрудно установить аналогию между ними:

Величина	Классическая механика	Оптика
Действие	[math]\displaystyle{ S(\vec{r}, t) }[/math]	[math]\displaystyle{ k_{0}L(\vec{r}) - \omega t }[/math]
"Укороченное" действие	[math]\displaystyle{ S_{0}(\vec{r}) }[/math]	[math]\displaystyle{ k_{0}L(\vec{r}) }[/math]
Энергия	[math]\displaystyle{ E }[/math]	[math]\displaystyle{ \omega }[/math]
Импульс	[math]\displaystyle{ \vec{p} }[/math]	[math]\displaystyle{ \vec{k} }[/math]
-	[math]\displaystyle{ 2m \left [ E - U(\vec{r}) \right ] }[/math]	[math]\displaystyle{ n^{2}(\vec{r}) }[/math]

Для того, чтобы соответствие между величинами классической механики и оптики было полным, необходимо величины оптики умножить на коэффициент с размерностью действия. В квантовой механике постулируется, что такой величиной является постоянная Планка.

См. также

• Постоянная Планка

Литература

• Жирнов Н. И. Классическая механика. — М.: Просвещение, 1980. — 303 с.