Окружность Ламуна
В планиметрии окружность Ламуна — это специальная окружность, которую можно построить в любом треугольнике [math]\displaystyle{ T }[/math]. Она содержит центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник [math]\displaystyle{ T }[/math] разрезают три его медианы.[1][2] Пусть для определенности [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math], [math]\displaystyle{ C }[/math] — 3 вершины треугольника [math]\displaystyle{ T }[/math], и пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — его центроид (пересечение трёх медиан). Пусть [math]\displaystyle{ M_a }[/math], [math]\displaystyle{ M_b }[/math] и [math]\displaystyle{ M_c }[/math] — середины сторон [math]\displaystyle{ BC }[/math], [math]\displaystyle{ CA }[/math] и [math]\displaystyle{ AB }[/math] соответственно. Тогда центры шести описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами: [math]\displaystyle{ AGM_c }[/math], [math]\displaystyle{ BGM_c }[/math], [math]\displaystyle{ BGM_a }[/math], [math]\displaystyle{ CGM_a }[/math], [math]\displaystyle{ CGM_b }[/math] и [math]\displaystyle{ AGM_b }[/math], лежат на общей окружности, которая называется окружностью Ламуна (англ. the van Lamoen circle).[2]
История
Окружность Ламуна так названа в честь математика Ламуна (Floor van Lamoen), который сформулировал это как задачу (проблему) в 2000 г.[3]. Доказательство было предоставлено Кин Я. Ли (Kin Y. Li) в 2001 г. [4],[5]
Свойства
Центром окружности Ламуна является точка [math]\displaystyle{ X(1153) }[/math] в Энциклопедии центров треугольника К. Кимберлинга. В 2003 году Алексей Мякишев и Петер Й. Ву (Peter Y. Woo) доказали, что обратное утверждение теоремы почти всегда справедливо в следующем смысле: пусть [math]\displaystyle{ P }[/math] — любая точка внутри треугольника, и [math]\displaystyle{ AA' }[/math], [math]\displaystyle{ BB' }[/math] и [math]\displaystyle{ CC' }[/math] — три его чевианы, то есть отрезки, которые соединяют каждую вершину с [math]\displaystyle{ P }[/math], продолженные до их пересечения с противоположной стороной. Тогда описанные окружности шести треугольников [math]\displaystyle{ APB' }[/math], [math]\displaystyle{ APC' }[/math], [math]\displaystyle{ BPC' }[/math], [math]\displaystyle{ BPA' }[/math], [math]\displaystyle{ CPA' }[/math] и [math]\displaystyle{ CPB' }[/math] лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ P }[/math] является центроидом треугольника [math]\displaystyle{ T }[/math] или его ортоцентром (точкой пересечения трёх его высот). [6] Более простое доказательство этого результата было дано Нгуен Минь Ха (Nguyen Minh Ha) в 2005 году.[7]
См. также
Примечание
- ↑ Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10.
- ↑ 2,0 2,1 Eric W. Weisstein, van Lamoen circle at Mathworld. Accessed on 2014-10-10.
- ↑ Kin Y. Li (2001), Concyclic problems. Mathematical Excalibur, volume 6, issue 1, pages 1-2.
- ↑ Clark Kimberling (), X(1153) = Center of the van Lemoen circle, in the Encyclopedia of Triangle Centers Accessed on 2014-10-10
- ↑ (2002), Solution to Problem 10830. American Mathematical Monthly, volume 109, pages 396—397
- ↑ Alexey Myakishev and Peter Y. Woo (2003), On the Circumcenters of Cevasix Configuration Архивная копия от 9 августа 2017 на Wayback Machine. Forum Geometricorum, volume 3, pages 57-63.
- ↑ N. M. Ha (2005), Another Proof of van Lamoen’s Theorem and Its Converse. Forum Geometricorum, volume 5, pages 127—132.