Оконное преобразование Фурье
Оконное преобразование Фурье — это разновидность преобразования Фурье, определяемая следующим образом:
- [math]\displaystyle{ F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau, }[/math]
где [math]\displaystyle{ W(\tau-t) }[/math] — некоторая оконная функция. В случае дискретного преобразования оконная функция используется аналогично:
- [math]\displaystyle{ F(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]w[n-m]e^{-j \omega n} }[/math]
Существует множество математических формул, визуально улучшающих частотный спектр на разрыве границ окна. Для этого применяются преобразования: треугольное (Барлетта), синус-окно, синус в кубе, синус в 4-й степени, преобразование Парзена, Уэлча, Гаусса, Хеннинга, приподнятый косинус (Хэмминга), Чебышева, с пульсациями, Розенфилда, Блэкмана-Харриса, горизонтальное и с плоской вершиной. Также существует методика по взаимному перекрытию окон, при этом обычно можно выбрать сколько семплов из предыдущего окна будет усреднено с текущим окном.
Применение
На практике нет возможности получить сигнал на бесконечном интервале, так как нет возможности узнать, какой был сигнал до включения устройства и какой он будет в будущем. Ограничение интервала анализа равносильно произведению исходного сигнала на прямоугольную оконную функцию. Таким образом, результатом оконного преобразования Фурье является не спектр исходного сигнала, а спектр произведения сигнала и оконной функции. В результате возникает эффект, называемый растеканием спектра сигнала. Опасность заключается в том, что боковые лепестки сигнала более высокой амплитуды могут маскировать присутствие других сигналов меньшей амплитуды.
Для борьбы с растеканием спектра применяют более гладкую оконную функцию, спектр которой имеет более широкий главный лепесток и низкий уровень боковых лепестков. Спектр, полученный при помощи оконного преобразования Фурье, является сверткой спектра исходного идеального сигнала и спектра оконной функции.
Искажения, вносимые применением окон, определяются размером окна и его формой. Выделяют следующие основные свойства оконных функций: ширина главного лепестка по уровню -3 дБ, ширина главного лепестка по нулевому уровню, максимальный уровень боковых лепестков, коэффициент ослабления оконной функции.
Оконное преобразование Фурье применяется в связи для синтеза частотных фильтров, например, в методе частотного мультиплексирования с множеством несущих, использующим банк (гребёнку) частотных фильтров FBMC[1].
Частотно-временное разрешение
При использовании оконного преобразования Фурье невозможно одновременно обеспечить хорошее разрешение по времени и по частоте. Чем уже окно, тем выше разрешение по времени и ниже разрешение по частоте.
Разрешение по осям является постоянным. Это нежелательно для ряда задач, в которых информация по частотам распределена неравномерно. В таких задачах в качестве альтернативы оконному преобразованию Фурье может использоваться вейвлет-преобразование, временное разрешение которого увеличивается с частотой (частотное снижается).
Типы оконных функций
Прямоугольное окно
.svg)
- [math]\displaystyle{ w(n)=\left\{ \begin{matrix} 1 , & n\in[0,N-1] \\ 0, & n\notin[0,N-1]\\ \end{matrix} \right. }[/math]
Получается автоматически при ограничении выборки N отсчетами. Максимальный уровень боковых лепестков частотной характеристики: -13 дБ.
Окно Ханна (Хеннинга)
-ru.svg)
- [math]\displaystyle{ w(n) = 0.5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right) }[/math]
где N — ширина окна. Уровень боковых лепестков: −31.5 дБ.
Окно Хэмминга
.svg)
- [math]\displaystyle{ w(n)=0.53836 - 0.46164\; \cos \left ( \frac{2\pi n}{N-1} \right) }[/math]
Уровень боковых лепестков: -42 дБ.
Окно Блэкмана
.png)
- [math]\displaystyle{ w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_0=\frac{1-\alpha}{2};\quad a_1=\frac{1}{2};\quad a_2=\frac{\alpha}{2} }[/math]
Уровень боковых лепестков: -58 дБ (α=0.16).
Окно Кайзера
.png)
.png)
- [math]\displaystyle{ w(n) = \frac { | I _0 \left ( \beta \sqrt {1 - \left ( \frac{2n-N+1}{N-1} \right )^2} \right ) | } { | I _0 (\beta) | } }[/math]
где [math]\displaystyle{ I_0 }[/math] — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; [math]\displaystyle{ \beta }[/math] — коэффициент определяющий долю энергии, сосредоточенной в главном лепестке спектра оконной функции. Чем больше [math]\displaystyle{ \beta }[/math] тем больше доля энергии, и шире главный лепесток, и меньше уровень боковых лепестков. На практике используются значения от 4 до 9.
Реализация
Для оконного преобразования Фурье в цифровом виде может применяться не только взвешивание каждого цифрового отсчета в процессе формирования свертки, но и эквивалентное весовое суммирование откликов преобразования Фурье[1].
К примеру взвешивание окном Ханна (Хеннинга) и окном Хэмминга может быть представлено в виде:
- [math]\displaystyle{ w = \frac {U _1 + \beta U _2 + U _3 }{ \beta } }[/math],
где [math]\displaystyle{ U _1 }[/math], [math]\displaystyle{ U _2 }[/math], [math]\displaystyle{ U _3 }[/math] - исходные отклики преобразования Фурье, [math]\displaystyle{ w }[/math] - результат оконного преобразования, [math]\displaystyle{ \beta=2 }[/math] соответствует окну Ханна (Хеннинга), [math]\displaystyle{ \beta=0.53836/0.23082 }[/math] - окну Хэмминга[1][2].
Реализация указанного взвешивания осуществляется в режиме скользящего окна по массиву откликов преобразования Фурье.
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Слюсар В.И. Современные тренды радиорелейной связи. //Технологии и средства связи. – 2014. - № 4. - С. 32 - 36. [http://web.archive.org/web/20200110062028/https://slyusar.kiev.ua/TSS_4_2014_1.pdf Архивная копия от 10 января 2020 на Wayback Machine]
- ↑ Слюсар В. И., Королев Н. А. Ващенко П. А. Метод повышения частотной избирательности систем сотовой связи, использующих цифровое диаграммообразование. // Тезисы докладов ХІV НТК. Часть 1. - Житомир: ЖВИРЭ. - 2004. - С. 77. [1] Архивная копия от 14 января 2020 на Wayback Machine