Обобщённый метод моментов

Обобщённый ме́тод моме́нтов (ОММ; англ. GMM — Generalized Method of Moments) — метод, применяемый в математической статистике и эконометрике для оценки неизвестных параметров распределений и эконометрических моделей, являющийся обобщением классического метода моментов. Метод был предложен Хансеном в 1982 году. В отличие от классического метода моментов количество ограничений может быть больше количества оцениваемых параметров.

Сущность метода

Пусть распределение случайного вектора x зависит от некоторого вектора неизвестных параметров b (количество параметров — k). Пусть также имеются некоторые функции g(x, b) (их количество q не меньше числа оцениваемых параметров), называемые моментными функциями (или просто моментами), для которых из теоретических соображений предполагается, что

[math]\displaystyle{ m(b)=E[g(x,b)]=0. }[/math]

Базовая идея метода моментов заключается в использовании в моментных условиях вместо математических ожиданий их выборочные аналоги — выборочные средние

[math]\displaystyle{ \hat{m}(b)=\overline {g(x,b)}, }[/math]

которые согласно закону больших чисел при достаточно слабых условиях должны асимптотически сходится к математическим ожиданиям. Поскольку количество условий на моменты в общем случае больше количества оцениваемых параметров, то однозначного решения эта система ограничений не имеет.

Обобщённым методом моментов (ОММ) называется оценка минимизирующая положительно определённую квадратичную форму от выборочных условий на моменты, в которых вместо математических ожиданий используются выборочные средние:

[math]\displaystyle{ \hat {b}_{GMM}=\arg \min_{b}\hat{m}(b)^TW\hat{m}(b), }[/math]

где W — некоторая симметрическая положительно определённая матрица.

Весовая матрица может быть произвольной (с учётом положительной определённости), однако доказано, что наиболее эффективными являются GMM-оценки с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице моментных функций [math]\displaystyle{ W=V^{-1}_g }[/math]. Это так называемый эффективный GMM.

Однако, поскольку на практике эта ковариационная матрица неизвестна, то применяют двухшаговую процедуру (двухшаговый GMM — Хансен, 1982 г.):

Шаг 1. Оцениваются параметры модели с помощью GMM с единичной весовой матрицей.

Шаг 2. По выборочным данным и найденным на первом шаге значениям параметров оценивают ковариационную матрицу моментных функций [math]\displaystyle{ \hat{V}_g=\overline {g(x,\hat{b})g(x,\hat{b})^T} }[/math] и используют полученную оценку в эффективном GMM.

Эту двухшаговую процедуру можно продолжить (итеративный GMM): используя оценки параметров модели на втором шаге ковариационная матрица моментов оценивается снова и повторно применяется эффективный GMM и т. д. итеративно до достижения требуемой точности.

Также возможен подход к численной минимизации целевой функции [math]\displaystyle{ \hat {m}^T(b)\hat{V}^{-1}_g(b)\hat {m}(b) }[/math] по неизвестным параметрам [math]\displaystyle{ b }[/math]. Тем самым одновременно оцениваются и параметры и ковариационная матрица. Это так называемый непрерывно обновляемый (Continuously Updated) GMM (Хансен, Хитон, Ярон, 1996 год).

Свойства метода

Оценки обобщённого метода моментов при достаточно слабых условиях являются состоятельными, асимптотически нормальными, а оценки эффективного GMM являются также асимптотически эффективными. Можно показать, что

[math]\displaystyle{ \sqrt{n}(\hat b_{GMM} - b) \xrightarrow{d} N(0, V_{b}). }[/math]

В общем случае

[math]\displaystyle{ V_{b}=(G^TWG)^{-1}G^TW V_g WG(G^TWG)^{-1} }[/math]

где G-математическое ожидание матрицы первых производных g по параметрам. В случае эффективного GMM формула ковариационной матрицы существенно упрощается:

[math]\displaystyle{ V_b=G^TV^{-1}_gG. }[/math]

J-тест

При использовании GMM важным тестом является тест на сверхидентифицирующие ограничения (J-тест). Нулевая гипотеза заключается в том, что условия (ограничения) на моменты имеют место (то есть предположения модели верны). Альтернативная — что они неверны.

Статистика теста равна значению целевой функции GMM, умноженному на количество наблюдений. При нулевой гипотезе

[math]\displaystyle{ J=n \hat {m}^T(\hat{b})\hat{V}^{-1}_g\hat {m}(\hat{b}) ~\xrightarrow {d}~\chi^2(q-k). }[/math]

Таким образом, если значения статистики больше критического значения распределения [math]\displaystyle{ \chi^2(q-k) }[/math] при заданном уровне значимости, то ограничения отвергаются (модель неадекватна), в противном случае модель признается адекватной.

См. также

• Метод моментов
• Метод наименьших квадратов
• Метод инструментальных переменных
• Метод максимального правдоподобия

Литература

• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.