Нормальная форма дифференциальных уравнений

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

Впервые идея построения нормальной формы уравнений была сформулирована выдающимся французским учёным Анри Пуанкаре в работе о новых методах небесной механики. Основная мысль, высказанная Пуанкаре, состоит в том, чтобы не стараться всеми силами решить исходные уравнения, а найти такую замену переменных, которая привела бы уравнения к простейшему, по возможности, к линейному виду. Используя обратную замену переменных, можно восстановить исходное решение. Ключевой вопрос — всегда ли существует такая взаимооднозначная замена переменных, что её результатом будут линейные уравнения, — решен в общем случае отрицательно. Оказалось, что если система имеет резонанс в особой точке, то в окрестности этой точки искомой замены нет. Полученные в результате нормализующих преобразований уравнения получили краткое название «нормальная форма».

Примеры нормальных форм

1. Нормальная форма автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности «неособой» точки (где задаваемое этой системой векторное поле в фазовом пространстве [math]\displaystyle{ (x_1, \ldots, x_n) }[/math] отлично от нуля):

[math]\displaystyle{ \frac{dx_1}{dt} = 1, \ \frac{dx_2}{dt} = \cdots = \frac{dx_n}{dt} = 0, }[/math]

2. Нормальная форма вырожденных уравнений «взрывной неустойчивости»

[math]\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = x^2 }[/math]

есть исходная форма. Уравнения не сводятся к линейным из-за нулевого собственного значения. Если собственное число — ноль, то резонанс есть всегда.

3. Нормальная форма уравнений линейного осциллятора

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 x}{dt^2}+ x = 0 }[/math]

представляется парой линейных уравнений для комплексно-сопряженных переменных

[math]\displaystyle{ \frac{d z}{dt}+ iz = 0 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \frac{d z^*}{dt}- iz^* = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ z = x +i\frac{d x}{dt} }[/math] есть нормальная координата.

4. Нормальная форма логистического уравнения с квадратичной нелинейностью

[math]\displaystyle{ \frac{d x}{dt}= - x + c x^2 }[/math]

есть следующая линейная форма

[math]\displaystyle{ \frac{d y}{dt}= - y. }[/math]

В том, что [math]\displaystyle{ y }[/math] есть нормальная координата, можно убедиться непосредственной подстановкой

[math]\displaystyle{ x = y + \frac{y}{1+c y}, }[/math]

которая получается в результате применения асимптотической процедуры построения нормализующего преобразования.

5. Нормальная форма уравнений нелинейного осциллятора с затуханием

[math]\displaystyle{ \frac{d^2 x}{dt^2}+ 2 \epsilon \frac{dx}{dt}+x+f(x) = 0 }[/math]

есть пара линейных комплексно-сопряженных уравнений

[math]\displaystyle{ \frac{dz}{dt} - (i\sqrt {1-\epsilon^2}-\epsilon)z = 0 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \frac{dz^*}{dt}+ (i\sqrt {1-\epsilon^2}+\epsilon)z^* = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ z }[/math] - искомая нормальная координата. Функция [math]\displaystyle{ f }[/math] - произвольный степенной ряд по аргументу [math]\displaystyle{ x }[/math], начинающийся с квадратичных членов разложения.

6. Нормальная форма нелинейных уравнений движения в окрестности «седла»

[math]\displaystyle{ \frac{d x_1}{dt}=- x_1 + h_1(x_1,x_2); }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d x_2}{dt}= x_2 + h_1(x_1,x_2), }[/math]

где [math]\displaystyle{ h_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ h_2 }[/math] - произвольные степенные ряды, начинающиеся с квадратичных членов по переменным [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math], есть пара нелинейных уравнений

[math]\displaystyle{ \frac{d y_1}{dt}= - y_1 + y_1 f(y_1 y_2); }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{d y_2}{dt}= y_2 + y_2 g(y_1 y_2), }[/math]

где [math]\displaystyle{ f }[/math] и [math]\displaystyle{ g }[/math] — произвольные степенные ряды по единому аргументу [math]\displaystyle{ y_1 y_2 }[/math]. В данном случае систему не удается привести к линейной нормальной форме из-за наличия резонанса.

7. Нормальная форма уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки (т. е. точки, вблизи которой уравнение не может быть однозначно разрешено относительно производной) — так называемая нормальная форма Чибрарио

[math]\displaystyle{ \Bigl(\frac{d y}{dx}\Bigr)^2 = x, }[/math]

Литература

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
• Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
• Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, — Наука, Москва, 1979.
• Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, — Физматлит, Москва, 1998.
• Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Мир, Москва, 1970.
• Ильяшенко Ю. С., Яковенко С. Ю. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, — УМН, 1991, 46:1 (277).