Неравенство Бесселя

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента [math]\displaystyle{ x }[/math] в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Формулировка

Пусть [math]\displaystyle{ H }[/math] — гильбертово пространство, и [math]\displaystyle{ e_1, e_2, ... }[/math] — ортонормированная последовательность элементов [math]\displaystyle{ H }[/math]. Тогда для произвольного [math]\displaystyle{ x \in H }[/math] выполняется неравенство:

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2 }[/math]

где [math]\displaystyle{ \langle \cdot, \cdot \rangle }[/math] обозначает скалярное произведение в пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math].

Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

[math]\displaystyle{ 0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2, }[/math]

которое выполняется для произвольного [math]\displaystyle{ n \geq 1 }[/math].

См. также

• Равенство Парсеваля

Ссылки

• Bessel's Inequality Архивная копия от 29 июня 2011 на Wayback Machine статья на сайте MathWorld.
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — 140 с. — ISBN УДК 517.98(042.4) (недоступная ссылка)

Литература

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-x ч. Часть II. — 4-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 464 с. — ISBN 5-9221-0131-5.