Нелинейное уравнение Шрёдингера

Не следует путать с Уравнение Гросса — Питаевского.

Нелине́йное, или куби́ческое, уравне́ние Шрёдингера (НУШ) — нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, играющее важную роль в теории нелинейных волн, в частности, в нелинейной оптике и физике плазмы.

Уравнение имеет вид:

[math]\displaystyle{ i\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \nu|u|^2u = 0 }[/math]

где [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math] — комплекснозначная функция.

Значение в физике

Нелинейное уравнение Шрёдингера описывает огибающую волнового пакета в среде с дисперсией и кубической нелинейностью. Подобная ситуация встречается, например, при распространении электромагнитных волн в плазме: с одной стороны, плазма является диспергирующей средой; с другой стороны, при достаточно высоких амплитудах волны проявляется пондеромоторная нелинейность, которая в некоторых случаях может быть аппроксимирована кубическим членом. Другим примером является распространение света в нелинейных кристаллах с дисперсией: во многих случаях квадратичная нелинейность мала или тождественно равна нулю в силу центральной симметрии кристаллической решётки, поэтому учитывается только кубический член.

Решения

Для нелинейного уравнения Шрёдингера найдено большое количество точных решений, представляющих собой стационарные нелинейные волны. В частности, решениями являются функции вида

[math]\displaystyle{ u(x, t) = \exp\left\{irx - ist\right\}v(x - Ut) }[/math]

где r, s, U — постоянные, связанные соотношениями:

[math]\displaystyle{ r = \frac{U}{2} \qquad s = \frac{U^2}{4} - \alpha }[/math]

а функция [math]\displaystyle{ v(q) }[/math] удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению вида

[math]\displaystyle{ \frac{d^2v}{dq^2} - \alpha v + \nu v^3 = 0 }[/math],

где [math]\displaystyle{ \alpha = r^2-s }[/math]. Периодические решения этого уравнения имеют форму кноидальных волн. Кроме того, имеется локализованное решение солитонного типа:

[math]\displaystyle{ v = \frac{\sqrt{2\alpha/\nu}}{\operatorname{ch}\left[\sqrt{\alpha}\left(x - Ut\right)\right]} }[/math]

Таким образом, параметр [math]\displaystyle{ \alpha }[/math] определяет амплитуду волн, а параметр U — их скорость. Интересно, что солитонные решения для нелинейного уравнения качественно совпадает с солитонными решениями для другого важного нелинейного уравнения — уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ), однако отличается, во-первых, тем, что амплитуда и скорость солитонов в НУШ независимы, а в КдФ связаны между собой, а во-вторых, тем, что в НУШ локализованные решения — это солитоны огибающих, а в КдФ — истинные солитоны.

Солитонные решения обладают особым значением, поскольку при [math]\displaystyle{ \nu \gt 0 }[/math] стационарные решения нелинейного уравнения Шрёдингера неустойчивы и распадаются на множество солитонов. При заданном произвольном начальном распределении функции [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math] решение может быть найдено методом обратной задачи рассеяния.

Интегралы

Нелинейное уравнение Шрёдингера вполне интегрируемо и обладает неограниченным набором интегралов движения. Примерами могут служить следующие интегралы:

[math]\displaystyle{ I_1 = \int|u|^2dx }[/math]

[math]\displaystyle{ I_2 = \int\frac{i}{2}\left(\overline{u}\frac{\partial u}{\partial x} - u\frac{\partial\overline{u}}{\partial x}\right)dx }[/math]

[math]\displaystyle{ I_3 = \int\left(\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|^2 + \kappa |u|^4\right)dx }[/math]

где верхняя черта означает взятие комплексного сопряжения.

Литература

• Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. — Динамические системы — 4, Итоги науки и техн. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 4. — С. 179—284. — (Совр. пробл. математики. Фундаментальные направления).
• Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. — 1980. — 319 с.
• Шрёдингера уравнение нелинейное — статья из Физической энциклопедии