Моногенная функция

Функция [math]\displaystyle{ f\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math] называется моногенной (или дифференцируемой в смысле комплексного анализа) в точке [math]\displaystyle{ z_0 \in \mathbb{C} }[/math], если предел

[math]\displaystyle{ \lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} }[/math]

существует и одинаков для приближения [math]\displaystyle{ z }[/math] к точке [math]\displaystyle{ z_0 }[/math] по произвольному пути. Ключевую роль в этом играет так называемое условие Коши — Римана. Функция, моногенная в окрестности точки [math]\displaystyle{ z_0 \in \mathbb{C} }[/math], называется голоморфной в этой точке. Функция, моногенная во всех точках некоторой открытой области [math]\displaystyle{ D\subseteq\C }[/math], называется голоморфной в этой области.

Функция называется полигенной, если подобный предел зависит от пути и имеет бесконечно много значений. Можно показать, что комплекснозначная функция может быть либо моногенной, либо полигенной, а случай существования конечного количества различных значений этого предела исключён.

Пример. Функция [math]\displaystyle{ f(z)=z }[/math] — моногенная в нуле:

[math]\displaystyle{ \lim_{z\to 0}\frac{z-0}{z-0} = 1, }[/math]

а функция [math]\displaystyle{ f(z)=\overline z }[/math] — полигенная:

[math]\displaystyle{ \lim_{z\to 0}\frac{\overline z-0}{z-0} = \lim_{z\to 0} \frac{|z|e^{-i\phi}}{|z|e^{i\phi}} = e^{-2i\phi}, }[/math] или [math]\displaystyle{ \lim_{z\to 0}\frac{\overline z-0}{z-0} = \sgn^{-2}z, }[/math]

где φ — аргумент числа z − 0, а sgn — комплексная функция знака, которая принимает значение, модуль которого всегда единичен.

См. также

• Голоморфная функция
• Условия Коши — Римана

Литература

• Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного — М., Наука, 1969.
• Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ — М., Наука, 1969.