Модели рассеивания примеси

Модели рассеивания примеси — математические модели распространения примесей в атмосфере.

Гауссовы модели

Гауссовы модели основаны на гипотезе о том, что распределение частиц в струе или облаке близко к нормальному.

Нестационарная Гауссова модель

Уравнение, описывающее распределение загрязняющего вещества для нестационарного случая
[math]\displaystyle{ C(x,y,z,t)=\frac{Q}{(2\pi)^{3/2}\sigma_x\sigma_y\sigma_z}\exp[-\frac{((x-x_0)-ut)^2}{2\sigma^2_x}]\exp[-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2_y}]\{\exp[-\frac{(z-H)^2}{2\sigma^2_z}]+\exp[-\frac{(z+H)^2}{2\sigma^2_z}]\} }[/math]

• [math]\displaystyle{ C(x,y,z,t) }[/math] - Концентрация загрязняющего вещества в точке с координатами [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math], [г/м³]
• [math]\displaystyle{ Q }[/math] - мощность непрерывного точечного источника загрязнения, [г/с](здесь просто количество загрязнения [г])
• [math]\displaystyle{ u }[/math] - скорость ветра на высоте H метров, [м/с]
• [math]\displaystyle{ H }[/math] - эффективная высота источника загрязнения, [м]
• [math]\displaystyle{ t }[/math] - время транспорта, [с]
• [math]\displaystyle{ \sigma_x, \sigma_y }[/math] - горизонтальные дисперсии, [м]
• [math]\displaystyle{ \sigma_z }[/math] - вертикальная дисперсия, [м]
• [math]\displaystyle{ x_0, y_0, H }[/math] - координаты точечного источника загрязнения, [м]

Параметры [math]\displaystyle{ \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z }[/math] увеличиваются с расстоянием [math]\displaystyle{ x-x_0 }[/math], скорость увеличения зависит от интенсивности турбулентности и тем самым от стабильности атмосферы. Для практического использования зависимости [math]\displaystyle{ \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z }[/math] от расстояния определяются на основании экспериментальных данных.

Стационарная Гауссова модель

Интегрируя по времени концентрацию загрязнений, выбрасываемых из непрерывного источника, можно получить установившееся распределение концентрации для стационарной модели Гаусса

[math]\displaystyle{ C(x,y,z)=\frac{Q}{2\pi u\sigma_y\sigma_z}\exp[-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2_y}]\{\exp[-\frac{(z-H)^2}{2\sigma^2_z}]+\exp[-\frac{(z+H)^2}{2\sigma^2_z}]\} }[/math]

В обоих случаях направление ветра совпадает с направлением оси [math]\displaystyle{ x }[/math] В гауссовой модели также предполагается, что имеет место отражение загрязняющего вещества от поверхности земли. Отражение характеризуется членом в фигурных скобках. Модель построена в предположении однородности и устойчивости атмосферы.

Представленная модель имеет ряд недостатков:

• Не учитывает рельеф поверхности
• Не учитывает изменение метеорологических параметров в пространстве и во времени
• Не описывает работу источников загрязнения работающих ограниченное время
• Используются характеристики полученные для наземных, а не приподнятых источников
• Не учитывает вертикальную структуру пограничного слоя

Гауссовы модели могут адекватно описывать распределение загрязняющего вещества только в горизонтальном направлении, для расчета вертикального профиля они применимы на очень коротких расстояниях.

Модель Пасквилла-Бригса

Значения дисперсий задаются в виде:

[math]\displaystyle{ \sigma_y=p_1x(1+q_1x)^{-0.5} }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma_z=p_2x(1+q_2x)^{-1} }[/math]

• [math]\displaystyle{ p_i, q_i }[/math] - задаются таблично для каждого класса устойчивости атмосферы

Для расстояний от 100 м до 10 км в случае ровной открытой местности
[math]\displaystyle{ \sigma_y=\frac{\alpha_xx}{\sqrt{1+10^{-4}x}} }[/math]
[math]\displaystyle{ \sigma_z=\frac{\alpha_zx}{s_z(x)} }[/math]

Таблица классов устойчивости Пасквилла

Скорость ветра, м/с	Классы устойчивости атмосферы A-F
	Дневное время. Уровень солнечного освещения			Ночное время. Облачность
	Сильный	Средний	Слабый	>50%	<50%
<2	A	A-B	B	E	F
2-3	A-B	B	C	E	F
3-5	B	B-C	C	D	E
5-6	C	C-D	D	D	D
>6	C	D	D	D	D

Модель Сеттона

Первоначально Сеттон получил формулу для наземных источников загрязнений, которая подтвердилась результатами наблюдений в Портоне (Англия) при равновесных условий для сравнительно небольших расстояний (несколько сотен метров). Распределение примеси вблизи точечного источника в разных направлениях описывается гауссовским законом. Концентрация примеси в точке [math]\displaystyle{ (x,y,z) }[/math] от источника, расположенного в начале координат, пропорциональна произведению
[math]\displaystyle{ p_y = \frac{1}{\sigma_y\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{y^2}{2\sigma^2_y}) }[/math]
на аналогичные функции [math]\displaystyle{ p_z }[/math] и [math]\displaystyle{ p_x }[/math]

• [math]\displaystyle{ \sigma^2_y }[/math] дисперсия распределения примеси в направлении [math]\displaystyle{ y }[/math]

[math]\displaystyle{ \sigma^2_i=\frac{1}{2}c^2_i(\overline{u}t)^{2-n} }[/math]

• [math]\displaystyle{ c_i }[/math] некоторые коэффициенты
• [math]\displaystyle{ \overline{u} }[/math] средняя по высоте скорость ветра
• [math]\displaystyle{ t }[/math] время после момента действия источника (в случае мгновенного источника), для непрерывного источника полагается, что [math]\displaystyle{ t=x/\overline{u} }[/math]
• [math]\displaystyle{ i=1,2,3 }[/math] соответствует [math]\displaystyle{ x,y,z }[/math]
• параметр [math]\displaystyle{ n }[/math] можно определить вертикальному профилю скорости ветра, тем самым косвенно учесть условия стратификации

Модель турбулентной диффузии

Полное уравнение массопереноса в общем виде описывается уравнением турбулентной диффузии
[math]\displaystyle{ \frac{\partial C}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}u\cdot C+\frac{\partial}{\partial y}v\cdot C+\frac{\partial}{\partial z}\omega\cdot C=\frac{\partial}{\partial x}D_x\frac{\partial C}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}D_y\frac{\partial C}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}D_z\frac{\partial C}{\partial z} }[/math]

Граничное условие
[math]\displaystyle{ D_z\frac{\partial C}{\partial z}+\omega C=\beta C }[/math]

• [math]\displaystyle{ C }[/math] - концентрация загрязняющего вещества [г/м³]
• [math]\displaystyle{ D_x, D_y, D_z }[/math] - коэффициенты турбулентной диффузии [м²/с]
• [math]\displaystyle{ u }[/math] - средняя скорость ветра вдоль оси [math]\displaystyle{ x }[/math], [м/с]
• [math]\displaystyle{ v }[/math] - средняя скорость ветра вдоль оси [math]\displaystyle{ y }[/math], [м/с]
• [math]\displaystyle{ \omega }[/math] - средняя скорость седиментации частиц загрязняющего вещества, [м/с]
• [math]\displaystyle{ \beta }[/math] - постоянная [м/с]. При [math]\displaystyle{ \beta=0 }[/math] граничное условие означает, что поток на поверхности равен нулю, все загрязняющее вещество остается в атмосфере "отражаясь" от поверхности земли. При [math]\displaystyle{ \beta=\infty }[/math] загрязняющее вещество "прилипает" к поверхности. В промежуточном случае [math]\displaystyle{ 0\lt \beta\lt \infty }[/math] вещество частично "отражается" частично "прилипает", обычно рассматриваются лишь две крайние возможности - "отражение" или "прилипание".

Аналитическое решение уравнение турбулентной диффузии имеет в частных случаях в предположениях конкретных функций коэффициентов диффузии от координат.

пример решения 3D-уравнения турбулентной диффузии - метод конечных элементов

пример решения 3D-уравнения турбулентной диффузии - метод конечных элементов

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентах диффузии и однородных граничных условиях

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентах турбулентной диффузии [math]\displaystyle{ D_x, D_y, D_z }[/math] при действии постоянного точечного источника загрязнения с учетом однородных граничных условий
[math]\displaystyle{ u\frac{\partial C}{\partial x}=D(\frac{\partial C}{\partial x}+\frac{\partial C}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z})+Q\delta(r) }[/math]

• [math]\displaystyle{ Q\delta }[/math] - Действие постоянного точечного источника загрязнения, [math]\displaystyle{ \delta }[/math] - дельта-функция Дирака
• [math]\displaystyle{ Q }[/math] - Мощность точечного источника загрязнения, [г/с]
• [math]\displaystyle{ r }[/math] - Расстояния от источника, [м]
• [math]\displaystyle{ D=D_x=D_y=D_z }[/math] - Коэффициент турбулентной диффузии, [м²/с]

Решение уравнения
[math]\displaystyle{ C(x,y,z)=\frac{Q}{4\pi D r}\exp[-\frac{u}{2 D}(r - x)] }[/math]
Согласно этой модели, зависимость концентрации от расстояния до источника носит гиперболический характер, в то время как по модели Гаусса эта зависимость носит характер экспоненциального закона убывания.

Решение уравнения турбулентной диффузии при постоянных коэффициентах диффузии при краевом условии "отражение"

Решение уравнения турбулентной диффузии при [math]\displaystyle{ u=const }[/math], и наличие в точке [math]\displaystyle{ x=0, y=0, z=h }[/math], стационарного точечного источника загрязнения и при краевом условии «отражения» на уровне [math]\displaystyle{ z=0 }[/math]:
[math]\displaystyle{ D_z\frac{\partial C}{\partial z}+\omega C=0, z=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ C(x,y,z)=\frac{Q}{2\pi x\sqrt{D_y D_z}}\exp[-\frac{u y^2}{4D_x\cdot x}]\{\exp[-\frac{u(z-h)^2}{4D_z\cdot x}]+\exp[-\frac{u(z+h)^2}{4D_z\cdot x}]\} }[/math]

Решение стационарного уравнения турбулентной диффузии при степенной зависимости вертикального коэффициента турбулентной диффузии

Математическая постановка задачи
[math]\displaystyle{ u\frac{\partial C}{\partial x}=D_y\frac{\partial^2 C}{\partial y^2}+\frac{\partial}{\partial z}D_z(z)\frac{\partial C}{\partial z} }[/math]

Граничное условие либо "отражение", либо поглощение.

• Уравнение записано в пренебрежении диффузии вдоль направления ветра (ось [math]\displaystyle{ x }[/math])
• [math]\displaystyle{ D_y = const }[/math] коэффициент горизонтальной турбулентной диффузии, [м²/с]
• [math]\displaystyle{ D_z(z) = D_1(\frac{z}{z_1})^{1-1/p} }[/math] коэффициент вертикальной турбулентной диффузии м²/с]
• [math]\displaystyle{ p }[/math] параметр термической устойчивости воздуха, [math]\displaystyle{ p=\infin }[/math] - безразличная стратификация; [math]\displaystyle{ p\gt 0 }[/math] - устойчивая стратификация; [math]\displaystyle{ p\lt 0 }[/math] - конвекция

Методика ОНД - 86

В России и некоторых других странах бывшего СССР для расчета локального загрязнения атмосферы выбросами промышленных предприятий применяется методика ОНД-86, сводящая к последовательности аналитических выражений, полученных в результате аппроксимации разностного решения уравнения турбулентной диффузии. Методика ОНД-86 позволяет рассчитывать максимально возможное распределение концентрации выбросов в условиях умеренно неустойчивого состояния атмосферы и усредненные по 20-30 минутному интервалу, но не учитывает такие факторы, как класс устойчивости атмосферы и шероховатость подстилающей поверхности.Методика применима для расчёта концентраций примеси на удалении от источника не более 100 км.

Примечания

На сайте агентства защиты окружающей среды США представлены многочисленные альтернативные модели рассеяния примесей, в основном основанные на гауссовых моделях рассеивания.
Альтернативные модели рассеивания примесей
Специальный модуль Flotran программного комплекса ANSYS позволяет решать различные задачи распространения примеси на основе решений системы уравнений Навье - Стокса, уравнения непрерывности, уравнения теплопереноса и уравнения массопереноса.

Ссылки

• Materials of IAEA Meeting, 1987, Chapter 3 p. 26.
• Sun W.-Y. and C.-Z. Chang. Diffusion model for a convective layer. Part 2: Plume released from a continuous point source. J. Climate Appl. Meteorol. 1986, vol. 25, No 10, pp. 1454-1463
• Pasquill F. Atmospheric dispersion parameters in gaussian plume modeling: [part II. Possible Requirements for Change in the Turner Workbook Values]. / F. Pasquill // EPA-600/4-76-030b, U.S. Environmental Protection Agency, Research Triangle Park, North Carolina 27711. - 1976.