Область значений функции

Область значений (или множество значений) функции — множество, состоящее из всех значений, которые принимает функция.

Определение

Пусть на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math] задана функция [math]\displaystyle{ f }[/math], которая отображает множество [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math], то есть: [math]\displaystyle{ f: X \to Y }[/math]. Тогда областью (или множеством) значений функции [math]\displaystyle{ f }[/math] называется совокупность всех её значений, которая является подмножеством множества [math]\displaystyle{ Y }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ f(X) }[/math], [math]\displaystyle{ E(f) }[/math], [math]\displaystyle{ R(f) }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathrm{ran}\,f }[/math] (от англ. range):

[math]\displaystyle{ f(X) = \{y\in Y|\, y = f(x),\,x\in X\} }[/math].

Способы нахождения областей значений некоторых функций

• последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;
• метод оценок;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• использование производной;
• использование наибольшего и наименьшего значений функции;
• графический метод;
• метод введения параметра;
• метод обратной функции.

Терминология

В некоторых источниках различаются понятия области значений и множества значений функции. При этом областью значений функции называется её кодомен, то есть множество [math]\displaystyle{ Y }[/math] в обозначении функции [math]\displaystyle{ f: X \to Y }[/math], а множеством значений функции называется совокупность всех значений [math]\displaystyle{ f(X) }[/math] функции [math]\displaystyle{ f }[/math].

Множество значений [math]\displaystyle{ f(X) }[/math] называется также образом множества [math]\displaystyle{ X }[/math] при отображении [math]\displaystyle{ f }[/math].

Иногда множество значений функции называют областью изменения функции.

См. также

• Область определения функции

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
• Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
• И. А. Лавров, Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13 — 21. — 256 с. — ISBN 5-02-014844-X.
• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14 — 18. — 256 с.
• Дж. Л. Келли. Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19 — 27. — 423 с.
• В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23 — 36. — 544 с.
• А. Н. Колмогоров. Что такое функция // «Квант» : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27-36. — ISSN 0130-2221.