Метод стрельбы

Метод стрельбы (краевая задача) — численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы дифференциальных уравнений. Суть: первое решение при последовательном изменении аргумента и повторении вычислений становится точнее

Описание метода

Рассматривается задача для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями общего вида:

система

[math]\displaystyle{ u'(x) = f(x, u, v) }[/math]
[math]\displaystyle{ v'(x) = g(x, u, v) }[/math]

граничные условия

[math]\displaystyle{ a \leqslant x \leqslant b }[/math]
[math]\displaystyle{ \varphi [u(a), v(a)] = 0 }[/math]
[math]\displaystyle{ \psi [u(b), v(b)] = 0 }[/math]

Алгоритм

1. Выбирается произвольно условие [math]\displaystyle{ u(a)= \eta }[/math].

2. Рассматривается левое краевое условие как алгебраическое уравнение [math]\displaystyle{ \varphi (\eta, v(a)) = 0 }[/math]. Определяем удовлетворяющее ему значение [math]\displaystyle{ v(a) = \zeta(\eta) }[/math].

3. Выбираются значения [math]\displaystyle{ u(a) = \eta, v(a) = \zeta }[/math] в качестве начальных условий задачи Коши для рассматриваемой системы и интегрируется эта задача Коши любым численным методом (например, по схемам Рунге — Кутты).

4. В итоге получается решение [math]\displaystyle{ u(x; \eta), v(x;\eta) }[/math], зависящее от η как от параметра.

Значение [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию. Однако правому краевому условию это решение, вообще говоря, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть правого краевого условия, рассматриваемая как некоторая функция параметра [math]\displaystyle{ \eta }[/math]:

[math]\displaystyle{ \tilde{\psi}(\eta) = \psi(u(b; \eta), v(b; \eta)) }[/math],

не обратится в нуль.

5. Подбирается параметр η по условию нахождения такого значения, для которого [math]\displaystyle{ \tilde{\psi}(\eta) \approx 0 }[/math] с требуемой точностью.

Таким образом, решение краевой задачи сводится к нахождению корня одного алгебраического уравнения [math]\displaystyle{ \tilde{\psi}(\eta) = 0 }[/math].

Пример программы на языке Python

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

a, b = 0.0, 1.0
A, B = 1.0, np.e
n = 5
h = (b - a) / n
D0, D1 = A + h, h

y = [[A, D0], [0, D1]]

def p(x):   return 1

def q(x):   return 1

def f(x):   return 3 * (np.e **x)

def get_c1():
    global n
    return (B - y[0][n]) / y[1][n]

def get_solv_y_i(i): return y[0][i] + get_c1() * y[1][i]

x = np.linspace(a, b, n+1)

def div(a, b):
    return a / b

for i in range(1, n):
    y[0].append(
        div(
            (h ** 2 * f(x[i]) - (1.0 - (h / 2) * p(x[i])) * y[0][i - 1] - (h ** 2 * q(x[i]) - 2) * y[0][i]),
            1 + h / 2 * p(x[i])
        )
    )
    y[1].append(
        div(
            -(1 - h / 2 * p(x[i])) * y[1][i - 1] - (h ** 2 * q(x[i]) - 2) * y[1][i],
            1 + h / 2 * p(x[i])
        )
    )

plt.plot(x, [get_solv_y_i(i) for i in range(n + 1)])
plt.show()

for i in range(n):
    print(x[i], get_solv_y_i(i))