Магический шестиугольник

Магический шестиугольник или магический гексагон порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] — набор чисел, расположенный в центрированной шестиугольной решётке со стороной [math]\displaystyle{ n }[/math] таким образом, что сумма чисел в каждой строке во всех направлениях равна некоей магической константе [math]\displaystyle{ M . }[/math]


Порядок n = 1 [math]\displaystyle{ M = 1 }[/math]	Порядок n = 3 [math]\displaystyle{ M = 38 }[/math]

Обычный магический шестиугольник может быть только порядка [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] (случай тривиален, и здесь речь о нём идти не будет) или [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] и может содержать числа от единицы до [math]\displaystyle{ 3n^2 - 3n + 1 . }[/math] Более того, если не считать зеркальных, существует только один магический шестиугольник порядка [math]\displaystyle{ n = 3 . }[/math]

Магический шестиугольник публиковался много раз как новое явление. Первооткрывателем, вероятно, является Эрнст фон Хасельберг^[нем.]^* (нем. Ernst von Haselberg) в 1887 году. ^{[источник не указан 3774 дня]}

Доказательство единственности

Докажем, что существуют магические шестиугольники только порядка [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ n = 3 . }[/math]

Вычислим магическую константу [math]\displaystyle{ M . }[/math] С одной стороны, гексагон содержит числа от единицы до [math]\displaystyle{ 3n^2 - 3n + 1 }[/math] (это легко доказать, разложив фигуру на три параллелограмма). То есть, сумма всех чисел в гексагоне

[math]\displaystyle{ S = \cfrac {3 n^2 - 3 n + 1} {2} (3 n^2 - 3n + 2) . }[/math]

С другой стороны, есть [math]\displaystyle{ 2n - 1 }[/math] рядов (например, вертикальных), которые включают в себя все числа в шестиугольнике. Так как сумма чисел в каждом ряду равна [math]\displaystyle{ M , }[/math] то во всём шестиугольнике будет [math]\displaystyle{ S = M(2n - 1) . }[/math]

Приравняв суммы, получим, что

[math]\displaystyle{ 32M = 72n^3 - 108n^2 + 90n - 27 + \cfrac {5} {2n - 1} }[/math]

Слева стоит целое число. Значит, справа должно тоже быть целое число.

Значит, [math]\displaystyle{ \cfrac {5} {2n - 1} }[/math] — это целое число, что возможно только при [math]\displaystyle{ n = 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ n = 3 . }[/math]

QED.

Аномальные магические шестиугольники

Хотя нормальных магических шестиугольников порядка, отличного от [math]\displaystyle{ n = 3 }[/math] не существует, существуют аномальные магические шестиугольники иных порядков.

Аномальными магическими шестиугольниками назовём шестиугольники, образованные по указанным выше правилам, однако, начинающие отсчёт чисел не от единицы, а от иного числа.

14 33 30 34 39 6 24 20 22 37 13 11 8 25 17 21 23 7 9 3 10 38 36 4 5 12 28 26 35 16 18 27 15 19 31 29 32	41 51 63 45 44 64 25 40 46 35 34 23 20 10 56 27 42 66 55 38 19 9 6 22 48 47 61 58 18 11 8 7 13 15 53 52 37 14 16 30 12 24 59 57 32 29 21 17 39 49 31 36 62 28 54 33 43 26 60 65 50	56 61 70 67 51 55 45 36 48 53 68 74 37 26 29 27 39 73 62 42 33 19 16 31 38 64 58 57 22 20 15 18 23 43 49 63 47 28 21 17 30 34 65 71 35 24 32 25 46 72 59 44 40 41 52 69 54 60 75 66 50
Порядок 4 [math]\displaystyle{ M = 111 }[/math] Начинается с [math]\displaystyle{ 3 }[/math] и кончается [math]\displaystyle{ 39 }[/math]	Порядок 5 [math]\displaystyle{ M = 244 }[/math] Начинается с [math]\displaystyle{ 7 }[/math] и кончается [math]\displaystyle{ 66 }[/math].	Порядок 5 [math]\displaystyle{ M = 305 }[/math] Начинается с [math]\displaystyle{ 15 }[/math] и кончается [math]\displaystyle{ 75 }[/math].

Магический гексагон порядка [math]\displaystyle{ n = 6 }[/math], начинающийся с [math]\displaystyle{ 21 }[/math] и кончающийся [math]\displaystyle{ 111 }[/math] ([math]\displaystyle{ M = 546 }[/math]) был создан Louis Hoelbling 11 октября 2004 года.

Гексагон порядка [math]\displaystyle{ n = 7 }[/math], начинающийся с 2 и кончающийся 128 ([math]\displaystyle{ M = 635 }[/math]) был создан Arsen Zahray 22 марта 2006 года.

Наибольший из известных на данный момент гексагон порядка [math]\displaystyle{ n = 8 }[/math], начинающийся с −84 и кончающийся 84 ([math]\displaystyle{ M = 0 }[/math]) был создан Louis K. Hoelbling 5 февраля 2006 года.

См. также

Примечания

Литература

Baker. J. E. and King, D. R. (2004) «The use of visual schema to find properties of a hexagon» Visual Mathematics, Volume 5, Number 3
Baker, J. E. and Baker, A. J. (2004) «The hexagon, nature’s choice» Archimedes, Volume 4