Лемма Гронуолла — Беллмана

В математике лемма Гронуолла, также называемая леммой Гронуолла-Беллмана, позволяет ограничить функцию, удовлетворяющую определенному дифференциальному или интегральному неравенству решением соответствующего дифференциального или интегрального уравнения. Имеется две формулировки леммы — в дифференциальной и в интегральной формах. Лемма Гронуолла является важным инструментом при получении различных оценок в теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. В частности, она используется при доказательстве единственности решения задачи Коши.

Формулировка

Пусть

• [math]\displaystyle{ u(t) \ge 0 \ }[/math]
• [math]\displaystyle{ f(t) \ge 0 \ }[/math]
• [math]\displaystyle{ u(t), f(t) \in C[t_0,\infty), }[/math]

при этом для [math]\displaystyle{ t \ge t_0 }[/math] выполняется неравенство:

[math]\displaystyle{ u(t) \leq c + \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1, \qquad (1) }[/math]

где [math]\displaystyle{ c }[/math] — положительная константа.

Тогда при [math]\displaystyle{ t \ge t_0 }[/math] имеем оценку:

[math]\displaystyle{ u(t) \le \, c \cdot \exp\int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1. \qquad (2) }[/math]

Доказательство

Из неравенства (1) получим:

[math]\displaystyle{ \frac{u(t)}{ c\ + \ \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1} \, \le 1 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \frac{f(t)u(t)}{c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 }\, \le \, f(t), \qquad (3) }[/math]

А так как

[math]\displaystyle{ \frac{d}{dt} \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t} f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \bigg] = f(t)u(t), }[/math]

то, проинтегрировав неравенство (3) в пределах от [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] до [math]\displaystyle{ t }[/math], получим:

[math]\displaystyle{ \ln \bigg[ c \, + \, \int_{t_0}^{t}\, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1\bigg] \, - \, \ln c \, \le \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1. }[/math]

Отсюда, используя неравенство (1), получаем:

[math]\displaystyle{ u(t)\, \le \, c \, + \, \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, u(t_1) \, dt_1 \, \le \, c \, \exp \int_{t_0}^{t} \, f(t_1) \, dt_1, }[/math]

что и требовалось доказать.

Усиленная лемма Гронуолла

Пусть функция [math]\displaystyle{ u(x) }[/math] неотрицательна и непрерывна в промежутке [math]\displaystyle{ \left [ x_{0}, x_{0}+h \right ] }[/math] и удовлетворяет там неравенству: [math]\displaystyle{ 0 \leqslant u(x) \leqslant A+B\int_{x_{0}}^{x}u(t)dt + \varepsilon(x-x_{0}), A \geqslant 0, B \geqslant 0, \varepsilon \geqslant 0 }[/math]. Тогда при [math]\displaystyle{ x \in \left [ x_{0}, x_{0}+h \right ] }[/math] справедливо неравенство: [math]\displaystyle{ u(x) \leqslant A e^{B(x-x_{0})}+\frac{\varepsilon}{B}(e^{B(x-x_{0})}-1) }[/math].

Ссылки

• PlanetMath
• Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: «Наука», 1967.