Линейная частотная модуляция

Линейная частотная модуляция (ЛЧМ) сигнала — это вид частотной модуляции, при которой частота несущего сигнала изменяется по линейному закону.

Математическое описание

Во временной области

Сигнал ЛЧМ в течение периода времени

Изменение частоты [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] внутри импульсов с ЛЧМ происходит по линейному закону:

[math]\displaystyle{ f(t) = f_0 + b \cdot t, \quad -\frac{T_\text{c}}{2} \leqslant t \leqslant \frac{T_\text{c}}{2}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ f_0 }[/math] - начальная частота сигнала; [math]\displaystyle{ b = (F_\text{max} - f_0) / T_\text{c} }[/math]; [math]\displaystyle{ T_\text{c} }[/math] — длительность сигнала; [math]\displaystyle{ F_\text{max} }[/math] — максимальное значение частоты радиосигнала.

Фаза сигнала с ЛЧМ определяется как

[math]\displaystyle{ \varphi(t) = 2\pi \int\limits_0^t f(t) \,dt = 2\pi\left(f_0 t + \frac{b}{2} t^2\right). }[/math]

Тогда ЛЧМ сигнал может быть описан выражением

[math]\displaystyle{ s_\text{LFM}(t) = S_0 \cos\{\varphi_0 + \varphi(t)\} = S_0 \cos\left\{\varphi_0 + 2\pi\left(f_0 t + \frac{b}{2}t^2\right) \right\}, }[/math]

или в комплексном виде

[math]\displaystyle{ s_\text{LFM}}(t) = S_0 e^{j \left\{\varphi_0 + 2\pi\left(f_0 t + \frac{b}{2} t^2\right)\right\}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ S_0 }[/math] — амплитуда сигнала; [math]\displaystyle{ j }[/math] — мнимая единица; [math]\displaystyle{ \varphi_0 }[/math] — начальная фаза.

В частотной области

Спектр ЛЧМ описывается так:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} S(\omega)= \begin{cases} \frac{A_0}{2}\sqrt{\frac{T_c}{\Delta F_m}}, & \left| \omega-\omega_0\right| \leqslant \frac{\Omega_M}{2}\\ 0, & \left| \omega-\omega_0\right| \gt \frac{\Omega_M}{2}\\ \end{cases}\\ \varphi(\omega) = \begin{cases} \tfrac{\pi}{4}-\frac{(\omega-\omega_0)^2}{2\Delta\Omega_M}T_c, & \left| \omega-\omega_0\right| \leqslant \frac{\Omega_M}{2}\\ 0, & \left| \omega-\omega_0\right| \gt \frac{\Omega_M}{2}\\ \end{cases}\\ \end{cases} }[/math]

Обработка

Сопоставление волна (wave) — вейвлет, ЛЧМ-сигнал (chirp) — чирплет

В обработке ЛЧМ сигналов чирплет-преобразование — это скалярное произведение входного сигнала с семейством элементарных математических функций, именуемых чирплетами.

Генерация

С помощью ГУН при подаче пилообразного напряжения на его управляющий вход. При этом нужно помнить, что обычно ГУНы имеют нелинейную зависимость выходной частоты от управляющего напряжения.
С помощью специализированных блоков ГКЧ — генераторы качающейся частоты.
Методом непосредственного цифрового синтеза (англ. DDS, direct digital synthesis), который можно реализовать, например:
- с помощью микросхемы AD9910;
- с помощью микросхемы 1508ПЛ8Т Архивная копия от 24 февраля 2009 на Wayback Machine:

Предусмотрена возможность работы микросхем совместно с внешними схемами ФАПЧ и ГУН для синтеза ЛЧМ-сигналов в диапазоне до нескольких гигагерц с сохранением высокой точности и скорости перестройки частоты.

Применение

ЛЧМ-сигналы применяются в радиолокации в качестве способа формирования и обработки зондирующего импульса. Применение ЛЧМ-сигнала позволяет повысить точность измерений в радиолокации.

См. также

Примечания

Литература

Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. — 3-е изд. — М.: «Высшая школа», 2000. — 462 с. — ISBN 5-06-003843-2.
Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. — 5-е изд. — М.: Дрофа, 2006. — 719 с. — ISBN 5-7107-7985-7.
Mahafza, B. R. Radar Systems Analysis and Design Using MATLAB / Bassem R. Mahafza. — CHAPMAN&HALL/CRC, 2000. — 532 с. — ISBN 1-58488-182-8.