Критерий согласия Ватсона
Непараметрический критерий согласия Ватсона[1][2] является развитием критерия согласия Крамера — Мизеса — Смирнова. Критерий был предложен для проверки простых гипотез о принадлежности анализируемой выборки полностью известному закону, то есть для проверки гипотез вида [math]\displaystyle{ H_0: F_n(x)=F(x,\theta) }[/math] с известным вектором параметров теоретического закона.
В критерии Ватсона используется статистика вида[1][2]:
[math]\displaystyle{ U^2_n = \sum_{i=1}^n \left( F(x_i,\theta) - \frac {i-0,5} {n} \right)^2 -n \left( \frac {1} {n} \sum_{i=1}^n F(x_i,\theta)- 0,5 \right)^2 + \frac {1} {12n} }[/math] ,
где [math]\displaystyle{ n }[/math] — объём выборки, [math]\displaystyle{ x_1, x_2, ... , x_n }[/math] — упорядоченные по возрастанию элементы выборки.
При справедливости простой проверяемой гипотезы статистика [math]\displaystyle{ U^2_n }[/math] в пределе подчиняется[1] распределению:
[math]\displaystyle{ G(u)=1-2 \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} e^ {-2m^2 \pi^2 u} }[/math] .
Чтобы уменьшить зависимость распределения статистики от объёма выборки, можно использовать в критерии модификацию статистики вида[3]
[math]\displaystyle{ U^{2*}_n = \left( U^2_n -0,1/n+0,1/n^2 \right) (1+0,8/n) }[/math] .
Однако следует подчеркнуть, что зависимость распределения статистики [math]\displaystyle{ U^2_n }[/math] от объема выборки выражена слабо. При [math]\displaystyle{ n\gt 20 }[/math] отличием распределения статистики [math]\displaystyle{ U^2_n }[/math] от предельного распределения можно пренебречь. При проверке простых гипотез критерий Ватсона по мощности несколько выигрывает у критерия Крамера-Мизеса-Смирнова[4]
При проверке простых гипотез критерий является свободным от распределения, то есть не зависит от вида закона, с которым проверяется согласие.
Проверяемая гипотеза отклоняется при больших значениях статистики.
Проверка сложных гипотез
При проверке сложных гипотез вида [math]\displaystyle{ H_0 : F_n(x) \in \left\{ F(x,\theta) , \theta \in \Theta \right\} }[/math] , где оценка [math]\displaystyle{ \hat \theta }[/math] скалярного или векторного параметра распределения [math]\displaystyle{ F(x,\theta) }[/math] вычисляется по той же самой выборке, критерий согласия Ватсона (как и все непараметрические критерии согласия) теряет свойство свободы от распределения[5].
При проверке сложных гипотез распределения статистик непараметрических критериев согласия зависят от ряда факторов: от вида наблюдаемого закона [math]\displaystyle{ F(x,\theta) }[/math] , соответствующего справедливой проверяемой гипотезе [math]\displaystyle{ H_0 }[/math]; от типа оцениваемого параметра и числа оцениваемых параметров; в некоторых случаях от конкретного значения параметра (например, в случае семейств гамма- и бета-распределений); от метода оценивания параметров. Различия в предельных распределениях статистики при проверке простых и сложных гипотез очень существенны, поэтому пренебрегать этим ни в коем случае нельзя[6].
См. также
- Критерий согласия Колмогорова
- Критерий Крамера — Мизеса — Смирнова
- Критерий Андерсона-Дарлинга
- Критерий согласия Купера
- Критерий согласия Пирсона
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 "Watson G. S. " Goodness-of-fit tests on a circle. I. // Biometrika. 1961. V. 48. N 1-2. P. 109—114.
- ↑ 2,0 2,1 "Watson G. S. " Goodness-of-fit tests on a circle. II. / G.S. Watson // Biometrika. 1962. V. 49. No. 1-2. P. 57 — 63.
- ↑ Stephens M. A. EDF statistics for goodness of fit and some comparisons // J. American Statistic. Association. 1974. V. 69. N 347. P. 730—737.
- ↑ Лемешко Б. Ю., Горбунова А. А. О применении и мощности непараметрических критериев согласия Купера, Ватсона и Жанга // Измерительная техника. 2013. № 5. — С.3-9.. Дата обращения: 24 октября 2013. Архивировано 23 октября 2013 года.
- ↑ Kac M., Kiefer J., Wolfowitz J. On Tests of Normality and Other Tests of Goodness of Fit Based on Distance Methods // Ann. Math. Stat., 1955. V.26. — P.189-211.
- ↑ Лемешко Б. Ю., Горбунова А. А. Применение непараметрических критериев согласия Купера и Ватсона при проверке сложных гипотез // Измерительная техника. 2013. № 9. — С.14-21.. Дата обращения: 24 октября 2013. Архивировано 29 октября 2013 года.