Кривая Лоренца

Кривая Лоренца (англ. Lorenz curve) — графическое изображение функции распределения, предложенная американским экономистом Максом Отто Лоренцем в 1905 году как показатель неравенства в доходах населения. Кривая Лоренца представляет функцию распределения, в которой аккумулируются доли численности и доходов населения. В прямоугольной системе координат кривая Лоренца является выпуклой вниз и проходит под диагональю единичного квадрата, расположенного в I координатной четверти.

Определение

Согласно американским экономистам К. Р. Макконнеллу и С. Л. Брю кривая Лоренца — это кривая распределения дохода в экономике, где суммарный процент домохозяйств, получающий доход, отложен на оси абсцисс, а суммарный процент доходов — по оси ординат. Кривая Лоренца демонстрирует степень неравенства распределения доходов: область между линией абсолютного равенства и кривой Лоренца (практического распределения дохода).

Каждая точка на кривой Лоренца соответствует утверждению вроде «20 самых бедных процентов населения получают всего 7 % дохода». В случае равного распределения каждая группа населения имеет доход, пропорциональный своей численности. Такой случай описывается кривой равенства (line of perfect equality), являющейся прямой, соединяющей начало координат и точку (1;1). В случае полного неравенства (когда лишь один член общества имеет доход) кривая (line of perfect inequality) сначала «прилипает» к оси абсцисс, а потом из точки (1;0) «взмывает» к точке (1;1). Кривая Лоренца заключена между кривыми равенства и полного неравенства.

Кривые Лоренца применяют для распределений не только доходов, но и имущества домохозяйств, долей рынка для фирм в отрасли, природных ресурсов по государствам.

Формула

Формально, если [math]\displaystyle{ p=F(x) }[/math] — это доля населения с подушевым доходом не более [math]\displaystyle{ x }[/math], т.е. функция распределения для дохода, то средний доход на душу населения [math]\displaystyle{ \mu }[/math] можно вычислить по формуле

[math]\displaystyle{ {\mu} = {\int_{0}^{\infty} x\,dF} = {\int_{0}^{\infty} x\,f(x)\,dx} , }[/math]

где [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] есть плотность распределения для [math]\displaystyle{ F(x) }[/math], если она существует. Если [math]\displaystyle{ 0 \lt {\mu} \lt +\infty, }[/math] то функция Лоренца определяется формулой

[math]\displaystyle{ L(p) = L(F(x)) = \frac{\int_{0}^{x} t\,f(t)\,dt}{\int_{0}^{\infty} t\,f(t)\,dt} = \frac{\int_{0}^{x} t\,f(t)\,dt}{\mu} }[/math]

(при [math]\displaystyle{ {\mu} = 0 }[/math] или [math]\displaystyle{ {\mu} = +\infty }[/math] функция Лоренца не определена). График функции Лоренца называется кривой Лоренца. Если существует обратная функция [math]\displaystyle{ x = F^{-1}(p) }[/math], то

[math]\displaystyle{ L(p) = \frac{\int_{0}^{p} F^{-1}(p)\,dp}{\int_{0}^{1} F^{-1}(p)\,dp}. }[/math]

Пример. Если [math]\displaystyle{ F(x)=x^n }[/math] при [math]\displaystyle{ 0\le x\le 1 }[/math] и [math]\displaystyle{ F(x)=1 }[/math] при [math]\displaystyle{ x\ge 1 }[/math], то [math]\displaystyle{ L(p)=p^{1+\frac1{n}} }[/math]. При [math]\displaystyle{ n\to+\infty }[/math] функция распределения стремится к функции скачка в точке 1, отвечающей равномерному распределению дохода, а [math]\displaystyle{ L(p)\to p }[/math], то есть кривая Лоренца стремится к кривой равенства.

Присутствие точки [math]\displaystyle{ (p,L(p)) }[/math] на кривой Лоренца означает, что доля [math]\displaystyle{ p }[/math] самых бедных жителей совокупно обладает долей [math]\displaystyle{ L(p) }[/math] общего дохода. Например, на приведенном ниже рисунке видно, что на примерно 3/4 самых бедных жителей приходится примерно половина всех доходов.

Производные показатели неравенства

Из кривой Лоренца можно вывести количественные показатели неравенства, например, коэффициент Джини и индекс Робин Гуда.

На данном рисунке изображена кривая Лоренца и индекс Робин Гуда, приблизительно равный 0.25, что означает, что при перераспределении четверти общего дохода данного общества можно добиться равенства в доходах.

Индекс Робин Гуда (Robin Hood index), также известный как индекс Гувера (Hoover index), — это ещё один показатель неравенства по доходам, имеющий связь с кривой Лоренца. Он равен той доле дохода общества, которую необходимо перераспределить для достижения равенства. Графически он представим как самый длинный вертикальный отрезок, соединяющий фактическую кривую Лоренца с линией равенства (биссектрисой I координатной четверти).

При абсолютной делимости дохода индекс Гувера принадлежит полуоткрытому интервалу [0;1). Если же доход не делим до бесконечности, то говорят о доле дохода, перераспределение которой максимально приближает данное общество к равенству.

Индекс Робин Гуда широко используется в оценках обеспеченности населённых районов врачами общей практики. При таких оценках кривая Лоренца будет наполняться не доходами, а удельным числом врачей общей практики на местность или группу людей, а ранжировать по данному показателю следует не домохозяйства, а местности или группы людей. Таким образом, он показывает, какую часть докторов следует перенаправить в другие районы для поддержания равной обеспеченности медицинским персоналом на всей исследуемой территории.