Интерполяционные ряды

Интерполяцио́нные ряды́ вошли в математику в основном благодаря Ньютону. Первые их примеры — бесконечный интерполяционный ряд Ньютона и ряд Тейлора. В XVIII в. бесконечными интерполяционными рядами как инструментом математического анализа широко пользовались Эйлер, Лагранж и Лаплас, в XIX в. — Гаусс, Абель и Коши. В конце XIX в. обобщение задач интерполирования послужило одним из источников проблемы моментов в работах Чебышёва, Стилтьеса и Маркова.

Построение интерполяционного ряда, или интерполяционный процесс, определяется последовательностью линейных непрерывных функционалов [math]\displaystyle{ {\Phi_i}~ (i=0,1,2,\ldots) }[/math] в линейном топологическом пространстве. При этом имеется также такая последовательность функций [math]\displaystyle{ \textstyle {\varphi_j}~ (j=0,1,2,\ldots) }[/math], что

[math]\displaystyle{ \Phi_i[\varphi_j] = \delta_{ij}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \textstyle \delta_{ij} }[/math] — символ Кронекера ([math]\displaystyle{ \textstyle \delta_{ij} = 1 }[/math], если [math]\displaystyle{ \textstyle i = j }[/math]; иначе [math]\displaystyle{ \textstyle \delta_{ij} = 0 }[/math]). Последовательность [math]\displaystyle{ \textstyle {\varphi_j(x)} }[/math] называется базисом фундаментальных полиномов интерполяционного процесса. Интерполяционным рядом функции [math]\displaystyle{ \textstyle f(x) }[/math] называется формальное выражение

[math]\displaystyle{ \sum_{i=k}^\infty\Phi_k[f]\varphi_k(x) . }[/math]

Если этот ряд сходится, то его сумма [math]\displaystyle{ \textstyle S(x) }[/math] удовлетворяет равенствам

[math]\displaystyle{ \textstyle \Phi_k[S(x)] = \Phi_k[f(x)] }[/math]

при [math]\displaystyle{ k=0,1,2,\ldots }[/math] независимо от того, равна сумма [math]\displaystyle{ \textstyle S(x) }[/math] исходной функции [math]\displaystyle{ \textstyle f(x) }[/math] или нет. Совокупность этих равенств выражает обобщение обычной задачи интерполирования функции по её значениям в последовательности точек.

Литература

• Евграфов М. А. Интерполяционная задача Абеля-Гончарова. М.: Гостехиздат, 1954.
• Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов. М.: Физматлит, 1961.
• Ибрагимов И. И. Методы интерполяции функций и некоторые их применения. М.: Наука, 1971.
• Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973.
• Головинский И. А. Из истории интерполяционных рядов. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXII, 1977, с. 65-81.
• Головинский И. А. Интерполяционные ряды Лапласа. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXIV, 1979, с. 104—120.