Гауссов интеграл

Не следует путать с интегралом Пуассона, выражающим гармоническую функцию внутри шара (круга) через её значения на его границе.

Га́уссов интегра́л (также интегра́л Э́йлера — Пуассо́на или интегра́л Пуассо́на) — интеграл от гауссовой функции:

[math]\displaystyle{ \int \limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}. }[/math]

Доказательства

Доказательство

Рассмотрим функцию [math]\displaystyle{ (1+t) e^{-t} }[/math] . Она ограничена сверху единицей на интервале [math]\displaystyle{ (-\infty;+\infty ) }[/math], а снизу нулем на интервале [math]\displaystyle{ [-1;+\infty ) }[/math] . В частности, полагая [math]\displaystyle{ t = \pm x^2 }[/math], получим при [math]\displaystyle{ x\not=0 }[/math] : [math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} (1-x^2)e^{x^2}\lt 1 \\ (1+x^2)e^{-x^2}\lt 1 \end{matrix} \right. }[/math] Ограничим в первом неравенстве изменение [math]\displaystyle{ x }[/math] промежутком [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], а во втором — промежутком [math]\displaystyle{ (0;\infty) }[/math], возведём оба неравенства в степень [math]\displaystyle{ n (n \in N) }[/math], так как неравенства с положительными членами можно возводить в любую положительную степень. Получим: [math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} (1-x^2)^n\lt e^{-nx^2} \\ 0\lt x\lt 1 \end{matrix} \right. }[/math] и [math]\displaystyle{ \left\{ \begin{matrix} e^{-nx^2}\lt \frac {1} {(1+x^2)^n} \\ x\gt 0 \end{matrix} \right. }[/math] Интегрируя неравенства в указанных пределах и сведя их в одно, получим [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 (1-x^2)^n\,dx \lt \int\limits_0^1 e^{-nx^2}\,dx \lt \int\limits_0^\infty e^{-nx^2}\,dx \lt \int\limits_0^\infty \frac {1} {(1+x^2)^n}\,dx }[/math] При замене [math]\displaystyle{ u=x\sqrt{n} }[/math] получим [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty e^{-nx^2}\,dx = \frac {1} {\sqrt{n}} \cdot K,\; K=\int\limits_0^\infty e^{-x^2}\,dx . }[/math] Полагая [math]\displaystyle{ x=\cos t }[/math] получим, соответственно, [math]\displaystyle{ \int\limits_0^1 (1-x^2)^n\,dx = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^{2n+1}t\,dt = \frac {2n!!} {(2n+1)!!} }[/math] Замена пределов интегрирования получается из-за того, что при изменении переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] от 0 до [math]\displaystyle{ \pi/2 }[/math] величина [math]\displaystyle{ \cos t }[/math] меняется в пределах от 0 до 1. И заменяя [math]\displaystyle{ x=\mathrm{ctg}\,t }[/math], получим [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty \frac {1} {(1+x^2)^n}\,dx = \int\limits_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}t\,dt = \frac {\pi(2n-3)!!} {2(2n-2)!!} }[/math] Здесь с пределами интегрирования аналогично: [math]\displaystyle{ \mathrm{ctg}\, t }[/math] изменяется от бесконечности до нуля при изменении переменной [math]\displaystyle{ t }[/math] от 0 до [math]\displaystyle{ \pi/2 }[/math] . Два последних интеграла могут быть найдены следующим образом: дважды интегрируя их по частям, мы получим рекуррентные соотношения, разрешая которые придем к результатам в правой части. Таким образом искомое К может быть заключено в интервале [math]\displaystyle{ \sqrt{n} \cdot \frac {2n!!} {(2n+1)!!} \lt K \lt \sqrt{n} \cdot \frac {\pi(2n-3)!!} {2(2n-2)!!} }[/math] Для нахождения К возведём всё неравенство в квадрат и преобразуем. В результате всё сильно упрощается до [math]\displaystyle{ \frac {n} {2n+1} \cdot \frac {(2n!!)^2} {(2n+1)((2n-1)!!)^2} \lt K^2 \lt \frac {n} {2n-1} \cdot \frac {(2n-1)((2n-3)!!)^2} {((2n-2)!!)^2} \cdot \frac {\pi^2} {4} }[/math] Из формулы Валлиса следует, что и левое, и правое выражение стремятся к [math]\displaystyle{ \pi/4 }[/math] при [math]\displaystyle{ n \rightarrow \infty }[/math] Следовательно, [math]\displaystyle{ K^2 = \frac {\pi} {4} \Longleftrightarrow K = \frac {\sqrt{\pi}} {2} }[/math] В силу чётности функции [math]\displaystyle{ e^{-x^2} }[/math], получаем, что [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = 2 \int\limits_0^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}. }[/math]

Доказательство 2

Гауссов интеграл может быть представлен как [math]\displaystyle{ I = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,{\rm d}x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,{\rm d}y }[/math]. Рассмотрим квадрат этого интеграла [math]\displaystyle{ I^2 }[/math]. Вводя двумерные декартовы координаты, переходя от них к полярным координатам [math]\displaystyle{ (x=r\cos\phi }[/math], [math]\displaystyle{ y=r\sin\phi }[/math], [math]\displaystyle{ r^2=x^2+y^2) }[/math] и интегрируя по [math]\displaystyle{ \phi }[/math] (от 0 до [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]), получаем: [math]\displaystyle{ I^2 = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\,e^{-x^2-y^2} {\rm d}x \,{\rm d}y = \int\limits_0^{2\pi} d\varphi \int\limits_0^{\infty} e^{-r^2} r\; {\rm d}r= 2\pi \int\limits_0^{\infty} e^{-r^2} r\; {\rm d}r = \pi \int\limits_0^{\infty} e^{-r^2} \; {\rm d}r^2 = \pi. }[/math] Следовательно, [math]\displaystyle{ I = \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,{\rm d}x = \sqrt{\pi} }[/math].

Доказательство 3

Гауссов интеграл может быть представлен как [math]\displaystyle{ I = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {y^2}}}dy} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {z^2}}}dz} }[/math]. Рассмотрим куб этого интеграла [math]\displaystyle{ I^3 }[/math]. Вводя трёхмерные декартовы координаты, переходя от них к сферическим координатам: [math]\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{l} x = r\sin \theta \cos \varphi \\ y = r\sin \theta \sin \varphi \\ z = r\cos \theta \\ {r^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} \end{array} \right. }[/math], якобиан преобразования равен [math]\displaystyle{ J = {r^2}\sin \theta }[/math], и интегрируя по [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ \pi }[/math]), по [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] (от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]), по [math]\displaystyle{ r }[/math] (от [math]\displaystyle{ 0 }[/math] до [math]\displaystyle{ \infty }[/math]), получаем: [math]\displaystyle{ \begin{array}{l} {I^3} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {\int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2} - {y^2} - {z^2}}}dx} dy} dz} = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^\pi {\int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}Jdr} d\theta } d\varphi } = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta d\theta \int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}{r^2}dr} } } = \\ = 2\pi \left( {( - \cos \pi ) - ( - \cos 0)} \right)\left( { - \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty {rd{e^{ - {r^2}}}} } \right) = - 2\pi \left( {\left. {\left( {r{e^{ - {r^2}}}} \right)} \right|_0^\infty - \int\limits_0^\infty {{e^{ - {r^2}}}dr} } \right) = - 2\pi (0 - \frac{I}{2}) = \pi I \end{array} }[/math] Следовательно, [math]\displaystyle{ I = \int\limits_{ - \infty }^\infty {{e^{ - {x^2}}}dx} = \sqrt \pi }[/math].

Вариации

Гауссовы интегралы от масштабированной гауссовой функции

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^\infty \alpha e^{-x^2 /\beta^2}\,dx = \alpha \beta \sqrt{\pi} }[/math]

и многомерные гауссовы интегралы

[math]\displaystyle{ \int\alpha e^{- (x^2 /\beta_1^2 + y^2/\beta_2^2 + z^2/\beta_3^2 + \dots)}\,dx dy dz \dots = \alpha \beta_1\beta_2\beta_3\dots \sqrt{\pi^n} }[/math]

элементарно сводятся к обычному одномерному, описанному первым (здесь и ниже везде подразумевается интегрирование по всему пространству).

То же относится к многомерным интегралам вида

[math]\displaystyle{ \int e^{x^T M x}\,dx_1 dx_2 dx_3 \dots dx_n = \sqrt{\frac{\pi^n}{|\det(M)|}} }[/math]

где x — вектор, а M — симметричная матрица с отрицательными собственными числами, так как такие интегралы сводятся к предыдущему, если сделать преобразование координат, диагонализующее матрицу М.

Практическое применение (например, для вычисления Фурье-преобразования от гауссовой функции) часто находит следующее соотношение

[math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c}, }[/math]

В физике

Вычисление этого интеграла и его различных вариаций служит основным содержанием многих тем современной теоретической физики.

История

Впервые одномерный гауссов интеграл вычислен в 1729 году Эйлером, затем Пуассон нашел простой приём его вычисления. В связи с этим он получил название интеграла Эйлера — Пуассона.

См. также

• Функция ошибок

Ссылки

• (2009) «Introduction to integral discriminants». Journal of High Energy Physics 2009 (12): 002. arXiv:0903.2595. doi:10.1088/1126-6708/2009/12/002. .