Инвариант Шварца

Инвариантом Шварца, производной Шварца или шварцианом [math]\displaystyle{ (Sf)(z) }[/math] (иногда используется обозначение [math]\displaystyle{ \{f,\;z\} }[/math]) аналитической функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] называется дифференциальный оператор вида

[math]\displaystyle{ (Sf)(z)=\frac{f'''(z)}{f'(z)}-\frac{3}{2}\left(\frac{f''(z)}{f'(z)}\right)^2. }[/math]

Свойства

• Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт имеет большое принципиальное значение. Действительно, если вторая производная определяет меру близости дифференцируемой функции к линейной, то инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейной функции.
• Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — аналитическая функция, а [math]\displaystyle{ g }[/math] — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение [math]\displaystyle{ (Sf)(z)=(S (g\circ f))(z) }[/math], то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,

[math]\displaystyle{ (S(f \circ g))(z) = (Sf)(g(z)) \cdot g'(z)^2. }[/math]

Таким образом выражение^{[прояснить]}

[math]\displaystyle{ (S(f))(z) \ dz^{\otimes 2} }[/math]

инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.

• Более общим образом, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g

[math]\displaystyle{ S(f \circ g) = \left( S(f)\circ g\right ) \cdot(g')^2+S(g). }[/math]

• Введём функцию от двух комплексных переменных

[math]\displaystyle{ F(z,w)= \log \left ( \frac{f(z)-f(w)}{z-w} \right ) }[/math].

Рассмотрим выражение

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 F(z,w)}{\partial z \, \partial w} = {f^\prime(z)f^\prime(w)\over(f(z)-f(w))^2}-{1\over(z-w)^2} }[/math].

Производная Шварца выражается формулой

[math]\displaystyle{ (Sf)(z)= \left. 6 \cdot {\partial^2 F(z,w)\over \partial z \partial w}\right\vert_{z=w}. }[/math]

• Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z

[math]\displaystyle{ (Sf)(z) = -\left(\frac{df}{dz}\right)^2 (Sz)(f) }[/math].

Выражение [math]\displaystyle{ (Sz)(f) }[/math] имеет следующий смысл: мы рассматриваем [math]\displaystyle{ f }[/math] как координату, а [math]\displaystyle{ z(f) }[/math] как функцию. Затем вычисляем Шварциан [math]\displaystyle{ z(f) }[/math]. Мы предполагаем, что [math]\displaystyle{ f' \neq 0 }[/math] поэтому по теореме об обратной функции [math]\displaystyle{ f }[/math] действительно является локальной координатой, а [math]\displaystyle{ z'(f) = 1 / f'(z) }[/math] (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением).

Уравнение для инварианта Шварца

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида [math]\displaystyle{ \frac{d^2f}{dz^2}+ Q(z)f(z)=0 }[/math]. Тогда его два линейно независимых решения [math]\displaystyle{ f_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ f_2 }[/math] удовлетворяют соотношению [math]\displaystyle{ \left(S\frac{f_1}{f_2}\right)(z)=2Q(z) }[/math].