Дискретное преобразование Абеля

Дискретным преобразованием А́беля называют следующее тождество:

[math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=m}^n a_k b_k = a_nB_n - a_mB_{m-1} - \sum\limits_{k=m}^{n-1}(a_{k+1} - a_k)B_k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ n \geqslant m \geqslant 1 }[/math], [math]\displaystyle{ (a_k), (b_k), (B_k) }[/math] — последовательности [math]\displaystyle{ (k \in \mathbb{N}) }[/math], при этом [math]\displaystyle{ B_k = b_1 + b_2 + \ldots + b_k }[/math] и [math]\displaystyle{ B_0 = 0 }[/math]. Это преобразование было названо в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. В математическом анализе оно используется при доказательстве признака сходимости Дирихле.

Преобразование Абеля является дискретным аналогом интегрирования по частям и иногда называется суммированием по частям.

Доказательство

Имеем

[math]\displaystyle{ \begin{align} \sum_{k=m}^n a_kb_k &= \sum_{k=m}^n a_k(B_k - B_{k-1}) = \\ &= \sum_{k=m}^n a_k B_k - \sum_{k=m}^n a_kB_{k-1} = \\ &= \sum_{k=m}^n a_k B_k - \sum_{k=m-1}^{n-1} a_{k+1} B_k = \\ &= a_n B_n + \sum_{k=m}^{n-1} a_k B_k - \sum_{k=m}^{n-1} a_{k+1} B_k - a_m B_{m-1} = \\ &= a_n B_n - a_m B_{m-1} - \sum_{k=m}^{n-1}(a_{k+1} - a_k) B_k, \end{align} }[/math]

что и требовалось доказать.