Двоичный код Голея

Шаблон:Карточка кода Шаблон:Карточка кода Двоичный код Голея — один из двух связанных друг с другом исправляющих ошибки линейных кодов:

• совершенный двоичный код Голея  — совершенный двоичный код с параметрами [math]\displaystyle{ [23,12,7] }[/math], или
• расширенный двоичный код Голея, получающийся из совершенного добавлением бита контроля чётности и имеющий параметры [math]\displaystyle{ [24,12,8] }[/math].

Свойства

• Совершенный код Голея исправляет ошибки, если они затронули не более 3 бит, и обнаруживает факт наличия ошибки если они затронули не более 7 бит.
• Расширенный код Голея дважды чётен (норма любого вектора делится на 4), и унимодулярен (размерность равна половине размерности пространства).
• Минимальная норма ненулевого вектора расширенного кода Голея равна 8. Размерность 24 — первая, в которой дважды чётный унимодулярный код может не иметь вектора нормы 4.
• Группа автоморфизмов расширенного кода Голея — группа Матьё [math]\displaystyle{ M_{24} }[/math].
• Наборы единиц векторов нормы 8 расширенного кода Голея образуют систему Штейнера [math]\displaystyle{ S(24,8,5) }[/math].

Применение

Код Голея применялся в ходе программы Вояджер при передаче аппаратами Вояджер-1 и Вояджер-2 цветных изображений Юпитера и Сатурна.

См. также

• Решётка Лича

Ссылки

• Pegg, Ed Jr.; Terr, David; and Weisstein, Eric W. Golay Code (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Golay, Marcel J. E. Notes on Digital Coding (англ.) // Proc. IRE : journal. — 1949. — Vol. 37. — P. 657.
• Curtis, R. T. A new combinatorial approach to M₂₄ (англ.) // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. : journal. — 1976. — Vol. 79. — P. 25—42. — doi:10.1017/S0305004100052075.
• Griess, Robert L. Twelve Sporadic Groups (неопр.). — Springer, 1998. — С. 167. — ISBN 9783540627784.
• Thompson, Thomas M. From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups (англ.). — Mathematical Association of America, 1983. — Vol. 21. — (Carus Mathematical Monographs). — ISBN 9780883850237.