Групповой завистливый делёж

Групповой завистливый делёж (известный также как коалиационно справедливый делёж) — это делёж ресурсов среди нескольких участников дележа таким образом, что любая группа участников считает свою долю не меньшей, чем у любой другой группы того же размера. Термин обычно используется в задачах справедливого дележа, таких как распределение ресурсов и справедливое разрезание торта.

Отсутствие зависти при групповом дележе является очень сильным требованием справедливости — распределение без групповой зависти эффективно по Парето, и в нём отсутствует зависть (в обычном смысле), но обратное не верно.

Определения

Рассмотрим множество из n участников. Каждый агент i получает определённое распределение A_i (например, кусок торта или комплект ресурсов). Каждый агент i имеет некоторые субъективные предпочтения <_i относительно кусков/комплектов (то есть, [math]\displaystyle{ A \lt _i B }[/math] означает, что агент i предпочитает кусок B куску A).

Рассмотрим группу агентов X при текущем распределении [math]\displaystyle{ \{A_i\}_{i \in X} }[/math]. Мы говорим, что группа X предпочитает кусок B по отношению к текущему распределению, если существует распределение куска B среди участников группы X: [math]\displaystyle{ \{B_i\}_{i \in X} }[/math], такое, что по меньшей мере один агент i считает, что новое распределение лучше по сравнению с текущим распределением ([math]\displaystyle{ A_i \lt _i B_i }[/math]), и никто из оставшихся участников группы не считает, что оно хуже.

Рассмотрим две группы, X и Y, обе с одним и тем же числом — k — участников. Говорим, что группа X завидует группе Y, если группа X предпочитает общий кусок группы Y ([math]\displaystyle{ \cup_{i \in Y}{A_i} }[/math]) своему куску.

Распределение {A₁, ..., A_n} называется распределением без групповой зависти, если не имеется группы, завидующей другой группе с тем же числом участников.

Связь с другими критериями

В распределении с отсутствием групповой зависти отсутствует также зависть в обычном смысле, поскольку группы X и Y могут содержать по одному агенту.

Распределение с отсутствием групповой зависти эффективно также по Парето, поскольку X и Y могут быть всей группой, содержащей n участников.

Условие отсутствия групповой зависти много строже, чем комбинация этих двух критериев, поскольку она применяется также к группам из 2, 3, ..., n-1 участников.

Существование

В условиях распределения ресурсов распределение с отсутствием групповой зависти существует. Более того, оно может быть получено как равновесие в условиях конкуренции с одинаковыми начальными фондами.

В условиях справедливого разрезания торта разрезание с отсутствием групповой зависти существует, если отношения предпочтения представлены положительными непрерывными мерами. То есть, каждый участник i имеет определённую функцию V_i, представляющую ценность каждого куска торта, и такие функции аддитивны и не атомарны.

Более того, распределение при групповом завистливом дележе существует, если предпочтения представлены конечными векторными мерами. То есть, каждый агент i имеет некоторую векторную функцию V_i, представляющую значения различных свойств каждого куска торта, и все компоненты в такой векторной функции аддитивны и не атомарны, а кроме того, отношения предпочтения непрерывны, монотонны и выпуклы.